A particle is traveling at 35 c in the x direction. Determine its proper velocity, eta^mu (all four components).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que uma partícula está se movendo na direção com uma velocidade de , onde é a velocidade da luz. A gente precisa descobrir a quatro-velocidade dessa partícula, que é representada por e tem quatro componentes (uma temporal e três espaciais). Para resolver isso, vamos precisar lembrar um pouquinho sobre relatividade especial, especialmente sobre como a velocidade se comporta quando consideramos quatro dimensões (tempo e espaço) juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fator de Lorentz, que é essencial na relatividade especial. Ele é dado por:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
Aqui, gamma = 1raiz1 - (35cc)^2 = 1raiz1 - (35)^2 = 1raiz1 - 925 = 1raiz1625 = 145 = 54 é a velocidade da partícula. No nosso caso, . Vamos substituir esse valor na fórmula:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos montar a quatro-velocidade eta^mu = gamma ( c, vx, vy, vz ) . A fórmula geral da quatro-velocidade é:
eta^mu = 54 ( c, 35c, 0, 0 ) = ( 54c, 54 cdot 35c, 0, 0 )
No nosso problema, a partícula está se movendo apenas na direção eta^mu = ( 54c, 34c, 0, 0 ) , então e . Já sabemos que e . Vamos substituir esses valores:
Simplificando as componentes:

Resposta

A quatro-velocidade da partícula é:
eta^mu = ( 54c, 34c, 0, 0 )

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