For elastic scattering of identical particles, A+A A+A, show that the Mandelstam variables (Problem 3.25) become
& s=4(p^2+m^2 c^2) / c^2 & t=-2 p^2(1-cos theta) / c^2 & u=-2 p^2(1+cos theta) / c^2
where p is the CM momentum of the incident particle, and theta is the scattering angle.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar como as variáveis de Mandelstam, que são , e , ficam quando temos uma dispersão elástica de partículas idênticas, ou seja, . Isso entra na área da física de partículas, especificamente na teoria de colisões. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das definições das variáveis de Mandelstam e como elas se relacionam com o momento no centro de massa (CM) e o ângulo de espalhamento .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as variáveis de Mandelstam. Elas são definidas em termos dos quatro-momentos das partículas envolvidas na colisão. Se temos duas partículas entrando e duas saindo, com quatro-momentos s = (p1 + p2)^2 , então:
t = (p1 - p3)^2
u = (p1 - p4)^2
No caso de partículas idênticas e colisão no quadro do centro de massa, podemos simplificar essas expressões.

Passo 3

No quadro do centro de massa, as duas partículas têm magnitudes de momento iguais, mas direções opostas. Vamos chamar o momento de cada uma de p1 = ( Ec, p ) . Então, os quatro-momentos das partículas iniciais podem ser escritos como:
p2 = ( Ec, -p )
Aqui, é a energia total de cada partícula, e usamos para manter as unidades corretas.

Passo 4

Vamos calcular s = (p1 + p2)^2 = ( 2Ec, 0 )^2 = ( 2Ec )^2 - 0 = 4E^2c^2 :
E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2
Sabemos que a energia total s = 4c^2 ( p^2c^2 + m^2c^4 ) = 4 ( p^2 + m^2c^2c^2 ) de cada partícula é dada pela relação de energia relativística:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular t = (p1 - p3)^2 :
p1 - p3 = ( 0, p - p' )
No centro de massa, após a colisão, a partícula 3 terá um ângulo t = -2 p^2 (1 - cos theta) / c^2 em relação à direção inicial. Então, o momento de é com direção .
A diferença dos quatro-momentos fica:
Onde é o momento após a colisão. Calculando o quadrado:

Passo 6

De forma similar, calculamos u = (p1 - p4)^2 :
u = -2 p^2 (1 + cos theta) / c^2
Como as partículas são idênticas, temos:

Resposta

Assim, demonstramos que para a dispersão elástica de partículas idênticas & s = 4(p^2 + m^2 c^2) / c^2 & t = -2 p^2(1 - cos theta) / c^2 & u = -2 p^2(1 + cos theta) / c^2 , as variáveis de Mandelstam são:

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