For elastic scattering of identical particles,
, show that the Mandelstam variables (Problem 3.25) become
where
is the CM momentum of the incident particle, and
is the scattering angle.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar como as variáveis de Mandelstam, que são
,
e
, ficam quando temos uma dispersão elástica de partículas idênticas, ou seja,
. Isso entra na área da física de partículas, especificamente na teoria de colisões. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das definições das variáveis de Mandelstam e como elas se relacionam com o momento no centro de massa (CM) e o ângulo de espalhamento
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as variáveis de Mandelstam. Elas são definidas em termos dos quatro-momentos das partículas envolvidas na colisão. Se temos duas partículas entrando e duas saindo, com quatro-momentos
, então:
No caso de partículas idênticas e colisão no quadro do centro de massa, podemos simplificar essas expressões.
Passo 3
No quadro do centro de massa, as duas partículas têm magnitudes de momento iguais, mas direções opostas. Vamos chamar o momento de cada uma de
. Então, os quatro-momentos das partículas iniciais podem ser escritos como:
Aqui,
é a energia total de cada partícula, e usamos
para manter as unidades corretas.
Passo 4
Vamos calcular
:
Sabemos que a energia total
de cada partícula é dada pela relação de energia relativística:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
No centro de massa, após a colisão, a partícula 3 terá um ângulo
em relação à direção inicial. Então, o momento de
é
com direção
.
A diferença dos quatro-momentos fica:
Onde
é o momento após a colisão. Calculando o quadrado:
Passo 6
De forma similar, calculamos
:
Como as partículas são idênticas, temos:
Resposta
Assim, demonstramos que para a dispersão elástica de partículas idênticas
, as variáveis de Mandelstam são: