Se
e
forem números positivos, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que, se
e
são números positivos, então
Isso envolve cálculo de integrais, especificamente uma técnica chamada substituição. Vamos precisar entender como mudar as variáveis de uma integral para facilitar a comparação entre as duas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral da esquerda:
Para comparar com a integral da direita, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar
. Essa substituição é útil porque troca
por
, o que parece ser o que precisamos para inverter
e
.
Passo 3
Ao fazer a substituição
, precisamos também ajustar os limites de integração e o diferencial
.
Quando
, então
.
Quando
, então
.
Além disso, derivando
, temos
, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Note que
e
.
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral. O sinal negativo no
inverte os limites de integração:
Agora, a integral está nos limites de 0 a 1, como queríamos.
Passo 6
Observamos que
é exatamente
. Portanto, temos:
Isso mostra que a integral original é igual à integral com
e
trocados.
Resposta
Portanto, mostramos que
como queríamos demonstrar!
Exercícios relacionados
Mostre que não existe
.
Elimite o parametro
para encontrar um equação cartesiana da curva. Esboce a curva indicando com uma seta a direção na qual a curva é tracada quando
aumenta.
(d)
(d)
Simplifique:
Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.