Se a e b forem números positivos, mostre que
integral0^1 x^a(1-x)^b d x=integral0^1 x^b(1-x)^a d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que, se integral0^1 x^a(1-x)^b ,dx = integral0^1 x^b(1-x)^a ,dx e são números positivos, então
Isso envolve cálculo de integrais, especificamente uma técnica chamada substituição. Vamos precisar entender como mudar as variáveis de uma integral para facilitar a comparação entre as duas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral da esquerda:
integral0^1 x^a(1-x)^b ,dx
Para comparar com a integral da direita, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar . Essa substituição é útil porque troca por , o que parece ser o que precisamos para inverter e .

Passo 3

Ao fazer a substituição , precisamos também ajustar os limites de integração e o diferencial .
Quando , então .
Quando , então .
Além disso, derivando , temos , ou seja, .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral0^1 x^a(1-x)^b ,dx = integralx=0^x=1 x^a(1-x)^b ,dx = integralt=1^t=0 (1 - t)^a t^b ,(-dt)
Note que e .

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral. O sinal negativo no integralt=1^t=0 (1 - t)^a t^b ,(-dt) = integralt=0^t=1 (1 - t)^a t^b ,dt inverte os limites de integração:
Agora, a integral está nos limites de 0 a 1, como queríamos.

Passo 6

Observamos que integral0^1 (1 - t)^a t^b ,dt = integral0^1 t^b(1 - t)^a ,dt é exatamente . Portanto, temos:
Isso mostra que a integral original é igual à integral com e trocados.

Resposta

Portanto, mostramos que
integral0^1 x^a(1-x)^b ,dx = integral0^1 x^b(1-x)^a ,dx
como queríamos demonstrar!

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