Se e forem números positivos, mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que, se e são números positivos, então
Isso envolve cálculo de integrais, especificamente uma técnica chamada substituição. Vamos precisar entender como mudar as variáveis de uma integral para facilitar a comparação entre as duas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral da esquerda:
Para comparar com a integral da direita, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar . Essa substituição é útil porque troca por , o que parece ser o que precisamos para inverter e .

Passo 3

Ao fazer a substituição , precisamos também ajustar os limites de integração e o diferencial .
Quando , então .
Quando , então .
Além disso, derivando , temos , ou seja, .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
Note que e .

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral. O sinal negativo no inverte os limites de integração:
Agora, a integral está nos limites de 0 a 1, como queríamos.

Passo 6

Observamos que é exatamente . Portanto, temos:
Isso mostra que a integral original é igual à integral com e trocados.

Resposta

Portanto, mostramos que
como queríamos demonstrar!

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Mostre que não existe .
Elimite o parametro para encontrar um equação cartesiana da curva. Esboce a curva indicando com uma seta a direção na qual a curva é tracada quando aumenta.
(d)
Simplifique:
Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.