Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, identificamos o ponto onde queremos encontrar o plano tangente. Suponhamos que o ponto dado seja . Assim, calculamos .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos ajudarão a determinar as inclinações do plano nas direções de e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, usamos a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é:

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Simplifique:
Se e forem números positivos, mostre que
Encontre o número tal que a reta divida a região delimitada pelas curvas e em duas regiōes com área igual.
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(a)