Mostre que não existe
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes:
O exercício pede para mostrar que a derivada de
em
, ou seja,
, não existe. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente o jeito de calcular derivadas usando limites. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à função naquele ponto. Para calcular
, usamos a definição de limite da derivada:
Mas, como a função tem comportamentos diferentes para
e
, precisamos analisar os limites pela esquerda e pela direita.
Passo 3
Derivada pela esquerda (
)
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda,
. Então, usamos
:
Então, a derivada pela esquerda é 1.
Passo 4
Derivada pela direita (
)
Quando
se aproxima de 0 pela direita,
. Então, usamos
:
Aqui, quando
se aproxima de 0 pela direita,
tende ao infinito positivo:
Então, a derivada pela direita não é um número finito.
Passo 5
Agora, para a derivada existir em
, os limites das derivadas pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. Mas vimos que:
Como 1 não é igual a
, os limites são diferentes. Portanto, a derivada
não existe.
Resposta
A derivada de
em
não existe porque os limites das derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.
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aumenta.
(d)
(d)
Simplifique:
Se
e
forem números positivos, mostre que
Simplifique: