Mostre que não existe .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes:
O exercício pede para mostrar que a derivada de em , ou seja, , não existe. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente o jeito de calcular derivadas usando limites. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à função naquele ponto. Para calcular , usamos a definição de limite da derivada:
Mas, como a função tem comportamentos diferentes para e , precisamos analisar os limites pela esquerda e pela direita.

Passo 3

Derivada pela esquerda ( )
Quando se aproxima de 0 pela esquerda, . Então, usamos :
Então, a derivada pela esquerda é 1.

Passo 4

Derivada pela direita ( )
Quando se aproxima de 0 pela direita, . Então, usamos :
Aqui, quando se aproxima de 0 pela direita, tende ao infinito positivo:
Então, a derivada pela direita não é um número finito.

Passo 5

Agora, para a derivada existir em , os limites das derivadas pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. Mas vimos que:
Como 1 não é igual a , os limites são diferentes. Portanto, a derivada não existe.

Resposta

A derivada de em não existe porque os limites das derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.

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(d)
Simplifique:
Se e forem números positivos, mostre que
Simplifique: