Se a e b formam um ângulo de pi4, e se |a|=5=|b|.
Determine o valor de 12|(a-2 b) times(3 a+2 b)|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular . Isso envolve vetores, produto vetorial e cálculo de magnitudes. Para resolver, vamos precisar lembrar das propriedades do produto vetorial e como calcular a magnitude de um vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto vetorial . Para isso, usamos a propriedade distributiva do produto vetorial, que nos permite multiplicar cada termo de um vetor pelos termos do outro vetor.

Passo 3

Aplicando a distributiva:
(a - 2b) times (3a + 2b) = a times 3a + a times 2b - 2b times 3a - 2b times 2b

Passo 4

Agora, simplificamos cada termo:
  1. . Sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero, ou seja, .
  2. .
  3. . E lembre-se que .
  4. , que também é zero, já que .

Passo 5

Substituindo os resultados:
0 + 2(a times b) - 6(-a times b) + 0 = 2(a times b) + 6(a times b) = 8(a times b)

Passo 6

Agora, temos que calcular a magnitude desse vetor resultante:
|8(a times b)| = 8|a times b|

Passo 7

Para encontrar |a times b| = |a| cdot |b| cdot sin(theta) , usamos a fórmula da magnitude do produto vetorial:
Onde é o ângulo entre e . Sabemos que , e .

Passo 8

Substituindo os valores:
|a times b| = 5 cdot 5 cdot sin(pi4) = 25 cdot raiz22 = 25raiz22
Então,
8|a times b| = 8 cdot 25raiz22 = 100raiz2
Agora, aplicamos a 12 cdot 100raiz2 = 50raiz2 :

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados