Seja A uma matriz quadrada de ordem n invertível. Se A é tal que A^2=A^-1 então mostre que det A=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem que é invertível. A propriedade dada é que . Nosso objetivo é mostrar que o determinante de , ou seja, , é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes e inversas de matrizes.

Passo 2

Sabemos que o determinante de uma matriz invertível não é zero. Então, já sabemos que .

Passo 3

Vamos aplicar o determinante em ambos os lados da equação det(A^2) = det(A^-1) . Isso nos dá:

Passo 4

Agora, usamos duas propriedades importantes dos determinantes:
  1. O determinante de uma potência de uma matriz é igual ao determinante da matriz elevado à potência. Ou seja, (det A)^2 = (det A)^-1 .
  2. O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja, .
Aplicando essas propriedades na equação, temos:

Passo 5

Vamos chamar x^2 = 1x de x^3 = 1 para simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 6

Resolvendo a equação det A = 1 , encontramos que (considerando que estamos trabalhando com números reais). Portanto:

Resposta

O determinante de é igual a 1, ou seja, .

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