Seja
uma matriz quadrada de ordem
invertível. Se
é tal que
então mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
que é invertível. A propriedade dada é que
. Nosso objetivo é mostrar que o determinante de
, ou seja,
, é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes e inversas de matrizes.
Passo 2
Sabemos que o determinante de uma matriz invertível não é zero. Então, já sabemos que
.
Passo 3
Vamos aplicar o determinante em ambos os lados da equação
. Isso nos dá:
Passo 4
Agora, usamos duas propriedades importantes dos determinantes:
- O determinante de uma potência de uma matriz é igual ao determinante da matriz elevado à potência. Ou seja,
. - O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja,
.
Aplicando essas propriedades na equação, temos:
Passo 5
Vamos chamar
de
para simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 6
Resolvendo a equação
, encontramos que
(considerando que estamos trabalhando com números reais). Portanto:
Resposta
O determinante de
é igual a 1, ou seja,
.