Encontre todos os valores de a para os quais o sistema
cl x+y+z & =2 2 x+3 y+2 z & =5 2 x+3 y+(a^2-4) z & =a+3
tem solução única, tem infinitas soluções, não tem solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e queremos descobrir para quais valores de a o sistema tem:
  • Uma solução única
  • Infinitas soluções
  • Nenhuma solução
Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante e analisar as matrizes associadas ao sistema. Precisamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante para ver quando o sistema tem solução única ou não.

Passo 2

Vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 2 & 3 & a^2 - 4
Essa matriz é formada pelos coeficientes das variáveis x, y e z nas três equações.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível (ou seja, se o sistema tem uma solução única).
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det = 1 cdot (3(a^2 - 4) - 2 cdot 3) - 1 cdot (2(a^2 - 4) - 2 cdot 2) + 1 cdot (2 cdot 3 - 3 cdot 2)

Passo 4

Vamos simplificar os cálculos:
Primeiro termo:
1 cdot (3a^2 - 12 - 6) = 3a^2 - 18
Segundo termo:
-1 cdot (2a^2 - 8 - 4) = -1 cdot (2a^2 - 12) = -2a^2 + 12
Terceiro termo:
1 cdot (6 - 6) = 0
Então, o determinante total fica:
3a^2 - 18 - 2a^2 + 12 = a^2 - 6

Passo 5

Agora, temos que o determinante é a^2 - 6. Vamos analisar quando esse determinante é diferente de zero, igual a zero ou impossível.
  • Solução única: Quando o determinante neq 0, ou seja, a^2 - 6 neq 0. Isso acontece quando a neq raiz6 e a neq -raiz6.
  • Infinitas soluções ou sem solução: Quando o determinante = 0, ou seja, a^2 - 6 = 0. Resolvendo:
a^2 = 6 Rightarrow a = raiz6 ou a = -raiz6
Para esses valores de a, precisamos verificar se o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (sem solução).

Passo 6

Vamos substituir a = raiz6 e a = -raiz6 no sistema original e verificar a consistência das equações.
Para a = raiz6:
Terceira equação:
2x + 3y + (raiz6^2 - 4)z = raiz6 + 3 2x + 3y + (6 - 4)z = raiz6 + 3 2x + 3y + 2z = raiz6 + 3
Comparando com a segunda equação:
2x + 3y + 2z = 5 2x + 3y + 2z = raiz6 + 3
Para que ambas sejam verdadeiras, devemos ter 5 = raiz6 + 3, o que não é verdade. Então, quando a = raiz6, o sistema é incompatível, ou seja, não tem solução.
Para a = -raiz6:
Terceira equação:
2x + 3y + ((-raiz6)^2 - 4)z = -raiz6 + 3 2x + 3y + (6 - 4)z = -raiz6 + 3 2x + 3y + 2z = -raiz6 + 3
Comparando com a segunda equação:
2x + 3y + 2z = 5 2x + 3y + 2z = -raiz6 + 3
Novamente, para que ambas sejam verdadeiras, devemos ter 5 = -raiz6 + 3, o que também não é verdade. Então, quando a = -raiz6, o sistema também é incompatível, ou seja, não tem solução.

Resposta

  • Solução única: Para todo a neq raiz6 e a neq -raiz6.
  • Não tem solução: Para a = raiz6 e a = -raiz6.
  • Infinitas soluções: Nunca ocorre nesse sistema.

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