Sejam os vetores
e
tais que:
e
. Calcular
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar usar. A gente tem dois vetores,
e
, com normas (ou seja, magnitudes) dadas:
e
. Além disso, a norma do produto vetorial deles é
. A gente precisa encontrar o produto escalar
.
Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas que relacionam o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores. Vamos precisar entender como essas operações estão conectadas com o ângulo entre os vetores. Não se preocupa se isso ainda parece complicado, vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos lembrar das fórmulas que ligam o produto escalar e o produto vetorial ao ângulo
entre os vetores
e
:
-
Produto escalar:
-
Produto vetorial:
Aqui,
e
são o cosseno e o seno do ângulo entre
e
. Nosso objetivo é encontrar
, então vamos precisar descobrir
.
Passo 3
Primeiro, vamos usar a fórmula do produto vetorial para encontrar
. Sabemos que:
Substituindo os valores que temos:
Calculando:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Sabemos que
. Agora que temos
, podemos encontrar
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos usar a fórmula do produto escalar para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
O produto escalar
é igual a
.