Sejam os vetores a e b tais que: |a|=3 ,|b|=26 e |a times b|=72. Calcular a cdot b

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar usar. A gente tem dois vetores, e , com normas (ou seja, magnitudes) dadas: e . Além disso, a norma do produto vetorial deles é . A gente precisa encontrar o produto escalar .
Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas que relacionam o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores. Vamos precisar entender como essas operações estão conectadas com o ângulo entre os vetores. Não se preocupa se isso ainda parece complicado, vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos lembrar das fórmulas que ligam o produto escalar e o produto vetorial ao ângulo a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta) entre os vetores |a times b| = |a| cdot |b| cdot sin(theta) e :
  • Produto escalar:
  • Produto vetorial:
Aqui, e são o cosseno e o seno do ângulo entre e . Nosso objetivo é encontrar , então vamos precisar descobrir .

Passo 3

Primeiro, vamos usar a fórmula do produto vetorial para encontrar |a times b| = |a| cdot |b| cdot sin(theta) . Sabemos que:
72 = 3 cdot 26 cdot sin(theta)
Substituindo os valores que temos:
72 = 78 cdot sin(theta)
Calculando:
sin(theta) = 7278 = 2426 = 1213
Agora, isolamos :

Passo 4

Sabemos que cos(theta) = raiz1 - sin^2(theta) = raiz1 - (1213)^2 = raiz1 - 144169 = raiz25169 = 513 . Agora que temos , podemos encontrar :

Passo 5

Agora que temos a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta) = 3 cdot 26 cdot 513 , podemos usar a fórmula do produto escalar para encontrar 3 cdot 26 = 78 :
78 cdot 513 = 78 div 13 times 5 = 6 times 5 = 30
Simplificando:

Resposta

O produto escalar é igual a .

Exercícios relacionados