Simplificar: X=i times(j+k)-j times(i+k)+k times(i+j+k)

Passo 1

Beleza, vamos simplificar a expressão vetorial dada:
X = i times (j + k) - j times (i + k) + k times (i + j + k)
Aqui, estamos lidando com produtos vetoriais entre os vetores unitários , e . Para resolver isso, precisamos lembrar das propriedades do produto vetorial e como ele funciona entre esses vetores básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir os produtos vetoriais em cada termo:
X = i times j + i times k - j times i - j times k + k times i + k times j + k times k
Aqui, usamos a propriedade distributiva do produto vetorial, que permite distribuir a multiplicação sobre a soma.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o produto vetorial entre vetores unitários segue certas regras:
i times j = k, j times k = i, k times i = j
E que trocar a ordem dos fatores inverte o sinal:
j times i = -k, j times k = i, k times j = -i
Além disso, o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero:
k times k = 0

Passo 4

Aplicando essas regras na nossa expressão:
X = k + (i times k) - (-k) - i + j - i + 0
Note que e . Substituímos esses valores na expressão.

Passo 5

Simplificando os sinais:
X = k - j + k - i + j - i
Aqui, combinamos os termos com sinais positivos e negativos.

Passo 6

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :

Resposta

Assim, a expressão simplificada é:
X = -2,i + 2,k

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