b) Para a função , determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: ii. em série de potências em torno de .
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos resolver o exercício que pede para desenvolver a função em uma série de potências centrada em . Nosso objetivo é encontrar essa série e determinar para quais valores de ela converge.
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como expandir funções usando essas séries. Não se preocupe se esses conceitos parecerem complicados agora, vamos explicar passo a passo!
Passo 2
Mudando o Centro da Série
Primeiro, queremos expandir em torno de . Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável:
Vamos definir . Assim, .
Substituindo na função original:
Agora, nossa função está em termos de , centrada em (já que corresponde a ).
Passo 3
Usando a Série de Potências para o Logaritmo
Sabemos que:
Comparando com nossa função , podemos reescrevê-la assim: