b) Para a função , determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: ii. em série de potências em torno de .

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos resolver o exercício que pede para desenvolver a função em uma série de potências centrada em . Nosso objetivo é encontrar essa série e determinar para quais valores de ela converge.
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como expandir funções usando essas séries. Não se preocupe se esses conceitos parecerem complicados agora, vamos explicar passo a passo!

Passo 2

Mudando o Centro da Série
Primeiro, queremos expandir em torno de . Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável:
Vamos definir . Assim, .
Substituindo na função original:
Agora, nossa função está em termos de , centrada em (já que corresponde a ).

Passo 3

Usando a Série de Potências para o Logaritmo
Sabemos que:
Comparando com nossa função , podemos reescrevê-la assim:
Aplicando a série do logaritmo:
Portanto:

Passo 4

Determinação do Intervalo de Convergência
A série que utilizamos converge quando:
Lembrando que , temos:
Resolvendo essa desigualdade:

Resposta

A série de potências de centrada em é:
E o intervalo de convergência dessa série é:

Exercícios relacionados

a) Considere a função : ii. Desenvolva a função em série de potências de ;
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: e) ( ) é divergente;
Determine o domínio da função , sendo: i)
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: b)