Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para expandir a função
usando a série binomial. Isso significa que vamos reescrever essa função como uma soma infinita de potências de
. Para isso, vamos precisar entender a série binomial de Newton, que nos ajuda a expandir expressões do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a função em uma forma que se pareça com
. Observa só:
Podemos fatorar o 4 do denominador:
Agora, temos algo parecido com
, onde
.
Passo 3
A série binomial para
é dada por:
No nosso caso,
. Vamos substituir esse valor na fórmula:
Simplificando os coeficientes:
Passo 4
Agora, substituímos
de volta na série:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Lembrando que
, vamos multiplicar cada termo da série por
:
Resposta
A expansão da função
usando a série binomial é:
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Determine o domínio da função
, sendo: i)
b) Para a função
, determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: ii. em série de potências em torno de
.
Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: f) ( )
é divergente.
c) Mostre que
.