Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para expandir a função usando a série binomial. Isso significa que vamos reescrever essa função como uma soma infinita de potências de . Para isso, vamos precisar entender a série binomial de Newton, que nos ajuda a expandir expressões do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a função em uma forma que se pareça com . Observa só:
Podemos fatorar o 4 do denominador:
Agora, temos algo parecido com , onde .

Passo 3

A série binomial para é dada por:
No nosso caso, . Vamos substituir esse valor na fórmula:
Simplificando os coeficientes:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na série:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Lembrando que , vamos multiplicar cada termo da série por :

Resposta

A expansão da função usando a série binomial é:

Exercícios relacionados

Determine o domínio da função , sendo: i)
b) Para a função , determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: ii. em série de potências em torno de .
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: f) ( ) é divergente.
c) Mostre que .