Seja sumn=1^infty an x^n uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: e) ( ) sumn=1^infty 2^n an é divergente;

Passo 1

Então, a gente tem uma série de potências da forma sumn=1^infty an x^n, e o raio de convergência dessa série é 2. A pergunta é sobre a veracidade da afirmação: “A série sumn=1^infty 2^n an é divergente.” Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre raio de convergência e o que ele nos diz sobre a série quando avaliamos em valores na fronteira desse raio.

Passo 2

Primeiro, o raio de convergência, nesse caso 2, nos informa que a série converge absolutamente para todos os valores de x cujo módulo é menor que 2, ou seja, |x| < 2. Isso significa que dentro desse intervalo, a série se comporta bem e soma para um valor finito.

Passo 3

Quando avaliamos a série no ponto x = 2, estamos na fronteira do raio de convergência. Nessa situação, o comportamento da série não é determinado apenas pelo raio de convergência. Pode acontecer que a série convirja ou diverja nesse ponto específico. Portanto, a partir do raio de convergência, não podemos concluir com certeza se a série sumn=1^infty 2^n an converge ou diverge.

Passo 4

A afirmação diz que a série sumn=1^infty 2^n an é divergente sempre que o raio de convergência é 2. Porém, como vimos, na verdade, a série pode tanto convergir quanto divergir em x = 2, dependendo dos coeficientes an. Portanto, não é necessariamente verdadeiro que a série sempre diverge nesse ponto.

Resposta

Falsa.

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