Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: e) ( )
é divergente;
Passo 1
Então, a gente tem uma série de potências da forma
, e o raio de convergência dessa série é 2. A pergunta é sobre a veracidade da afirmação: “A série
é divergente.” Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre raio de convergência e o que ele nos diz sobre a série quando avaliamos em valores na fronteira desse raio.
Passo 2
Primeiro, o raio de convergência, nesse caso 2, nos informa que a série converge absolutamente para todos os valores de
cujo módulo é menor que 2, ou seja,
. Isso significa que dentro desse intervalo, a série se comporta bem e soma para um valor finito.
Passo 3
Quando avaliamos a série no ponto
, estamos na fronteira do raio de convergência. Nessa situação, o comportamento da série não é determinado apenas pelo raio de convergência. Pode acontecer que a série convirja ou diverja nesse ponto específico. Portanto, a partir do raio de convergência, não podemos concluir com certeza se a série
converge ou diverge.
Passo 4
A afirmação diz que a série
é divergente sempre que o raio de convergência é 2. Porém, como vimos, na verdade, a série pode tanto convergir quanto divergir em
, dependendo dos coeficientes
. Portanto, não é necessariamente verdadeiro que a série sempre diverge nesse ponto.
Resposta
Falsa.
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Encontre uma expansão em série de potências de x para
. Usando isto, prove que
.
Determine o domínio da função
, sendo: g)
a) Considere a função
: ii. Desenvolva a função em série de potências de
;
b) Para a função
, determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: ii. em série de potências em torno de
.