Determine o domínio da função f, sendo: i) sumn=1^infty senh(2 n) cdot x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função que é dada pela série infinita . Isso está relacionado ao cálculo de séries de potências e à análise de convergência. Para descobrir o domínio, vamos verificar para quais valores de essa série converge.

Passo 2

Primeiro, lembra que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de séries de potências, como essa, a gente precisa encontrar os valores de que fazem a série convergir.

Passo 3

Para analisar a convergência da série , vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série.

Passo 4

O Teste da Razão diz que se a gente calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde , e se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular esse limite:
L = limn to infty | senh(2(n+1)) cdot x^n+1senh(2n) cdot x^n | = limn to infty | senh(2n + 2)senh(2n) cdot x |
Sabemos que , e para valores grandes de , se aproxima de .

Passo 6

Assim, para senh(2n + 2) approx e^2n + 22 grande:
senh(2n) approx e^2n2
senh(2n + 2)senh(2n) approx e^2n + 22e^2n2 = e^2
Então,
L = limn to infty e^2 cdot |x| = e^2 cdot |x|
Portanto:

Passo 7

Para a série convergir, precisamos que e^2 cdot |x| < 1 implies |x| < 1e^2 :
Então, o raio de convergência é .

Passo 8

Agora, o domínio da função |x| < 1e^2 implies -1e^2 < x < 1e^2 são todos os valores de que estão dentro do raio de convergência:

Resposta

O domínio da função é o intervalo .

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