Determine o domínio da função , sendo: i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função que é dada pela série infinita . Isso está relacionado ao cálculo de séries de potências e à análise de convergência. Para descobrir o domínio, vamos verificar para quais valores de essa série converge.

Passo 2

Primeiro, lembra que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de séries de potências, como essa, a gente precisa encontrar os valores de que fazem a série convergir.

Passo 3

Para analisar a convergência da série , vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série.

Passo 4

O Teste da Razão diz que se a gente calcular o limite:
onde , e se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular esse limite:
Sabemos que , e para valores grandes de , se aproxima de .

Passo 6

Assim, para grande:
Então,
Portanto:

Passo 7

Para a série convergir, precisamos que :
Então, o raio de convergência é .

Passo 8

Agora, o domínio da função são todos os valores de que estão dentro do raio de convergência:

Resposta

O domínio da função é o intervalo .

Exercícios relacionados

b) Para a função , determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: ii. em série de potências em torno de .
a) Considere a função : ii. Desenvolva a função em série de potências de ;
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: b)
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: f) ( ) é divergente.