Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função que é dada pela série infinita . Isso está relacionado ao cálculo de séries de potências e à análise de convergência. Para descobrir o domínio, vamos verificar para quais valores de essa série converge.
Passo 2
Primeiro, lembra que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de séries de potências, como essa, a gente precisa encontrar os valores de que fazem a série convergir.
Passo 3
Para analisar a convergência da série , vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série.
Passo 4
O Teste da Razão diz que se a gente calcular o limite:
onde , e se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos calcular esse limite:
Sabemos que , e para valores grandes de , se aproxima de .
Passo 6
Assim, para grande:
Então,
Portanto:
Passo 7
Para a série convergir, precisamos que :
Então, o raio de convergência é .
Passo 8
Agora, o domínio da função são todos os valores de que estão dentro do raio de convergência: