a) Considere a função : ii. Desenvolva a função em série de potências de ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a função e o objetivo é desenvolver essa função em uma série de potências centrada em . Isso significa que vamos reescrever a função de uma forma que possamos expressá-la como uma soma infinita de termos envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador de uma maneira que facilite a expansão em série. Queremos que o denominador fique na forma , onde é uma expressão que envolve .
Vamos começar isolando :
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, queremos que o denominador seja parecido com . Para isso, vamos fatorar o 7:

Passo 4

Reconhecemos que pode ser expandido como uma série geométrica , desde que . Aqui, .
Então, podemos escrever:

Passo 5

Simplificando, temos a série de potências centrada em :

Resposta

A série de potências de centrada em é:

Exercícios relacionados

Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: e) ( ) é divergente;
Encontre uma expansão em série de potências de x para . Usando isto, prove que .
b) Para a função , determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: ii. em série de potências em torno de .
Determine o domínio da função , sendo: i)