a) Considere a função
: ii. Desenvolva a função em série de potências de
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a função
e o objetivo é desenvolver essa função em uma série de potências centrada em
. Isso significa que vamos reescrever a função de uma forma que possamos expressá-la como uma soma infinita de termos envolvendo
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador
de uma maneira que facilite a expansão em série. Queremos que o denominador fique na forma
, onde
é uma expressão que envolve
.
Vamos começar isolando
:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, queremos que o denominador seja parecido com
. Para isso, vamos fatorar o 7:
Passo 4
Reconhecemos que
pode ser expandido como uma série geométrica
, desde que
. Aqui,
.
Então, podemos escrever:
Passo 5
Simplificando, temos a série de potências centrada em
:
Resposta
A série de potências de
centrada em
é:
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Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: e) ( )
é divergente;
Encontre uma expansão em série de potências de x para
. Usando isto, prove que
.
b) Para a função
, determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: ii. em série de potências em torno de
.
Determine o domínio da função
, sendo: i)