(b) Se g(t) = d, uma constante, mostre que toda solução da equação tente a d/c quando t -> infinito. O que acontece se c=0 ? E se b também for nulo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que , onde é uma constante. A gente precisa mostrar que toda solução da equação tende a quando vai para o infinito. Além disso, temos que ver o que acontece se e se também for nulo.
Esse exercício está relacionado a equações diferenciais, especificamente às equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar a solução geral dessas equações e analisar o comportamento das soluções quando cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a equação diferencial que estamos lidando. Geralmente, quando temos termos como e , estamos tratando de uma equação da forma:
No nosso caso, , então a equação fica:

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos usar o método do fator integrante. Esse método é útil para equações lineares de primeira ordem e nos ajuda a encontrar a solução geral.
Primeiro, identificamos o coeficiente de , que é . Calculamos o fator integrante usando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito ( ).
Observe que tende a zero quando se . Assim, a solução geral tende a:

Passo 8

Agora, o que acontece se ? Nesse caso, a equação diferencial original fica:
Integrando, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Se , a solução simplifica para:
Isso significa que cresce sem limites conforme aumenta, ou seja, não tende a um valor constante.

Resposta

Toda solução da equação tende a quando vai para o infinito. Se , a solução se torna , que cresce sem limite. E se e , então , confirmando que não tende a um valor fixo.

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