(b) Se
, uma constante, mostre que toda solução da equação tente a
quando
. O que acontece se
? E se
também for nulo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que
, onde
é uma constante. A gente precisa mostrar que toda solução da equação tende a
quando
vai para o infinito. Além disso, temos que ver o que acontece se
e se
também for nulo.
Esse exercício está relacionado a equações diferenciais, especificamente às equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar a solução geral dessas equações e analisar o comportamento das soluções quando
cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a equação diferencial que estamos lidando. Geralmente, quando temos termos como
e
, estamos tratando de uma equação da forma:
No nosso caso,
, então a equação fica:
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos usar o método do fator integrante. Esse método é útil para equações lineares de primeira ordem e nos ajuda a encontrar a solução geral.
Primeiro, identificamos o coeficiente de
, que é
. Calculamos o fator integrante
usando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito (
).
Observe que
tende a zero quando
se
. Assim, a solução geral tende a:
Passo 8
Agora, o que acontece se
? Nesse caso, a equação diferencial original fica:
Integrando, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Se
, a solução simplifica para:
Isso significa que
cresce sem limites conforme
aumenta, ou seja, não tende a um valor constante.
Resposta
Toda solução da equação tende a
quando
vai para o infinito. Se
, a solução se torna
, que cresce sem limite. E se
e
, então
, confirmando que
não tende a um valor fixo.