Resolva as equações de Euler
(b) t^2 y'' + 2 t y' - 2 y = 0, t > 0 y = c1 t + c2 t^(-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Euler. Esse tipo de equação tem coeficientes que são potências da variável . Para resolver, vamos precisar usar um método específico onde assumimos que a solução tem a forma . Vamos descobrir qual valor de faz essa equação funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da equação é . Com isso, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo da equação:
Aqui, todas as parcelas têm como fator comum, então podemos fatorar:

Passo 5

Como nunca é zero para , podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Simplificando os termos:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar :
Então, temos duas soluções para :

Resposta

A solução geral da equação é:

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