Resolva as equações de Euler
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Euler. Esse tipo de equação tem coeficientes que são potências da variável
. Para resolver, vamos precisar usar um método específico onde assumimos que a solução tem a forma
. Vamos descobrir qual valor de
faz essa equação funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da equação é
. Com isso, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo da equação:
Aqui, todas as parcelas têm
como fator comum, então podemos fatorar:
Passo 5
Como
nunca é zero para
, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Simplificando os termos:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar
:
Então, temos duas soluções para
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Encontre as coordenadas do ponto da curva
que esteja mais proximo ao ponto
. [Resp:(1,1)].
Considere o problema de valor inicial
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando
Derive
(b) Se
, uma constante, mostre que toda solução da equação tente a
quando
. O que acontece se
? E se
também for nulo?