Resolva as equações de Euler
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Euler. Esse tipo de equação tem coeficientes que são potências da variável . Para resolver, vamos precisar usar um método específico onde assumimos que a solução tem a forma . Vamos descobrir qual valor de faz essa equação funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da equação é . Com isso, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo da equação:
Aqui, todas as parcelas têm como fator comum, então podemos fatorar:

Passo 5

Como nunca é zero para , podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Simplificando os termos:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar :
Então, temos duas soluções para :

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Encontre as coordenadas do ponto da curva que esteja mais proximo ao ponto . [Resp:(1,1)].
Considere o problema de valor inicial
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando
Derive
(b) Se , uma constante, mostre que toda solução da equação tente a quando . O que acontece se ? E se também for nulo?