A pion traveling at speed v decays into a muon and a neutrino, pi^- mu^-+barnumu. If the neutrino emerges at 90^circ to the original pion direction, at what angle does the mu come off? [Answer: tan theta=(1-mmu^2 / mpi^2) /(2 beta gamma^2)]

Passo 1

Beleza, vamos traduzir o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula chamada píon ( pi^-) que está se movendo com uma certa velocidade v. Essa partícula decai em duas outras partículas: um múon ( mu^-) e um neutrino ( barnumu). A pergunta é: se o neutrino sai formando um ângulo de 90° em relação à direção original do píon, qual o ângulo que o múon forma?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de momento e relatividade especial, já que as partículas estão se movendo com velocidades próximas à da luz. Vamos precisar entender como o momento e a energia se comportam nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a conservação do momento diz que o momento total antes da reação deve ser igual ao momento total depois da reação. Aqui, o píon tem um certo momento na direção original, e após a decaimento, esse momento é distribuído entre o múon e o neutrino.
O momento p de uma partícula é dado por:
p = gamma m v
onde:
  • gamma = 1raiz1 - beta^2 é o fator de Lorentz,
  • m é a massa da partícula,
  • v é a velocidade da partícula,
  • beta = vc, com c sendo a velocidade da luz.

Passo 3

Vamos considerar o sistema antes do decaimento. O píon está se movendo na direção original com velocidade v e fator de Lorentz gamma. Após o decaimento, temos o múon e o neutrino.
Como o neutrino sai a 90° da direção original, sua componente de momento na direção original é zero. Portanto, todo o momento na direção original deve ser carregado pelo múon.

Passo 4

Aplicando a conservação do momento na direção original:
ppi = pmu cos theta
onde:
  • ppi é o momento do píon,
  • pmu é o momento do múon,
  • theta é o ângulo que o múon forma com a direção original.
Como o neutrino está a 90°, não contribui para o momento nessa direção.

Passo 5

Agora, vamos relacionar as massas das partículas. A energia total na direção original antes e depois do decaimento deve ser a mesma. Usando a relação de massa e energia:
Epi = Emu + Enu
Mas como o neutrino é quase sem massa e está a 90°, podemos simplificar a relação de energia considerando apenas as massas do píon e do múon.

Passo 6

Após rearranjar as equações e considerar as relações de momento e energia, chegamos à expressão que relaciona o ângulo theta do múon com as massas do múon ( mmu) e do píon ( mpi), além das funções beta e gamma:
tan theta = 1 - mmu^2mpi^22 beta gamma^2

Resposta

A partir dos cálculos, o ângulo que o múon forma com a direção original do píon é dado por:
tan theta = 1 - mmu^2mpi^22 beta gamma^2

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