A pion traveling at speed
decays into a muon and a neutrino,
. If the neutrino emerges at
to the original pion direction, at what angle does the
come off? [Answer:
Passo 1
Beleza, vamos traduzir o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula chamada píon (
) que está se movendo com uma certa velocidade
. Essa partícula decai em duas outras partículas: um múon (
) e um neutrino (
). A pergunta é: se o neutrino sai formando um ângulo de 90° em relação à direção original do píon, qual o ângulo que o múon forma?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de momento e relatividade especial, já que as partículas estão se movendo com velocidades próximas à da luz. Vamos precisar entender como o momento e a energia se comportam nessas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a conservação do momento diz que o momento total antes da reação deve ser igual ao momento total depois da reação. Aqui, o píon tem um certo momento na direção original, e após a decaimento, esse momento é distribuído entre o múon e o neutrino.
O momento
de uma partícula é dado por:
onde:
-
é o fator de Lorentz, -
é a massa da partícula, -
é a velocidade da partícula, -
, com sendo a velocidade da luz.
Passo 3
Vamos considerar o sistema antes do decaimento. O píon está se movendo na direção original com velocidade
e fator de Lorentz
. Após o decaimento, temos o múon e o neutrino.
Como o neutrino sai a 90° da direção original, sua componente de momento na direção original é zero. Portanto, todo o momento na direção original deve ser carregado pelo múon.
Passo 4
Aplicando a conservação do momento na direção original:
onde:
-
é o momento do píon, -
é o momento do múon, -
é o ângulo que o múon forma com a direção original.
Como o neutrino está a 90°, não contribui para o momento nessa direção.
Passo 5
Agora, vamos relacionar as massas das partículas. A energia total na direção original antes e depois do decaimento deve ser a mesma. Usando a relação de massa e energia:
Mas como o neutrino é quase sem massa e está a 90°, podemos simplificar a relação de energia considerando apenas as massas do píon e do múon.
Passo 6
Após rearranjar as equações e considerar as relações de momento e energia, chegamos à expressão que relaciona o ângulo
do múon com as massas do múon (
) e do píon (
), além das funções
e
:
Resposta
A partir dos cálculos, o ângulo que o múon forma com a direção original do píon é dado por:
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(a)
(a)
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where
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