Questão 14 Seja S o subespaço de consistindo em todos os polinômios da forma . Encontre uma base para , onde, é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço do espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3. A é formada por polinômios da forma , onde e são números reais. Nosso objetivo é encontrar uma base para . Para isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, combinação linear e bases em álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que qualquer polinômio em pode ser escrito como . Podemos reorganizar isso para separar os termos com e os termos com :
Isso nos mostra que cada polinômio em é uma combinação linear de e .
Passo 3
Agora, para formar uma base de , precisamos encontrar polinômios que sejam **linearmente independentes** e que **gerem** todo o subespaço . Pelo que vimos, e são candidatos porque qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação deles.
Passo 4
Vamos verificar se e são **linearmente independentes**. Para isso, assumimos que existe uma combinação linear igual a zero:
Desenvolvendo:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
A única solução é e , o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos dois polinômios que são linearmente independentes e que geram , eles formam uma base para . Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito de forma única como uma combinação linear desses dois polinômios.
Resposta
Uma base para é .
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