Questão 14 Seja S o subespaço de P3 consistindo em todos os polinômios da forma a x^2+b x+2 a+3 b. Encontre uma base para S, onde, P3 é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço do espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3. A é formada por polinômios da forma , onde e são números reais. Nosso objetivo é encontrar uma base para . Para isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, combinação linear e bases em álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que qualquer polinômio em a x^2 + b x + 2a + 3b = a(x^2 + 2) + b(x + 3) pode ser escrito como . Podemos reorganizar isso para separar os termos com e os termos com :
Isso nos mostra que cada polinômio em é uma combinação linear de e .

Passo 3

Agora, para formar uma base de , precisamos encontrar polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Pelo que vimos, e são candidatos porque qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação deles.

Passo 4

Vamos verificar se c1(x^2 + 2) + c2(x + 3) = 0 e c1 x^2 + c2 x + (2c1 + 3c2) = 0 são linearmente independentes. Para isso, assumimos que existe uma combinação linear igual a zero:
c1 = 0 c2 = 0 2c1 + 3c2 = 0
Desenvolvendo:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
A única solução é e , o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos dois polinômios que são linearmente independentes e que geram , eles formam uma base para . Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito de forma única como uma combinação linear desses dois polinômios.

Resposta

Uma base para é .

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