Questão 14 Seja S o subespaço de
consistindo em todos os polinômios da forma
. Encontre uma base para
, onde,
é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço
do espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3. A
é formada por polinômios da forma
, onde
e
são números reais. Nosso objetivo é encontrar uma base para
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, combinação linear e bases em álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que qualquer polinômio em
pode ser escrito como
. Podemos reorganizar isso para separar os termos com
e os termos com
:
Isso nos mostra que cada polinômio em
é uma combinação linear de
e
.
Passo 3
Agora, para formar uma base de
, precisamos encontrar polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço
. Pelo que vimos,
e
são candidatos porque qualquer polinômio em
pode ser escrito como uma combinação deles.
Passo 4
Vamos verificar se
e
são linearmente independentes. Para isso, assumimos que existe uma combinação linear igual a zero:
Desenvolvendo:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero:
A única solução é
e
, o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos dois polinômios que são linearmente independentes e que geram
, eles formam uma base para
. Isso significa que qualquer polinômio em
pode ser escrito de forma única como uma combinação linear desses dois polinômios.
Resposta
Uma base para
é
.