Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é determinar o intervalo máximo de convergência da série de potências dada:
Isso envolve entender sobre séries de potências e usar algum teste de convergência para descobrir para quais valores de a série realmente dá certo. Vamos usar o Teste da Razão, que é bem útil nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A ideia é calcular:
Se an = (-1)^n (x-3)^n(2n+1) raizn+1 , a série converge; se an+1an = (-1)^n+1 (x-3)^n+1(2(n+1)+1) raizn+2(-1)^n (x-3)^n(2n+1) raizn+1 , diverge; e se , o teste não é conclusivo.
Aqui, nosso termo geral é:
Vamos montar a razão :
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Sinais: | an+1an | = |x-3| cdot 2n+12n+3 cdot raizn+1raizn+2 , mas como a gente vai usar o valor absoluto, isso vira 1.
Termos de : .
Quadrado e raiz: Vamos deixar tudo organizado.
Ficando assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando L = |x-3| cdot 1 cdot 1 = |x-3| tende ao infinito:
: Dividindo numerador e denominador por , temos que tende a .
: Dividindo dentro da raiz por , fica que tende a .
Então, o limite fica:
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão, para a série convergir:
|x-3| < 1
Resolvendo essa desigualdade, temos:
-1 < x - 3 < 1
Somando 3 em todos os lados:
2 < x < 4
Então, inicialmente, o intervalo de convergência é .
Passo 6
Agora, precisamos verificar os pontos finais sumn=1^infty (-1)^n (2-3)^n(2n+1) raizn+1 = sumn=1^infty 1(2n+1) raizn+1 e sumn=1^infty (-1)^n (4-3)^n(2n+1) raizn+1 = sumn=1^infty (-1)^n 1(2n+1) raizn+1 para ver se estão incluídos no intervalo.
Para :
Substituindo na série:
Essa série é similar a , que é uma série p com , então converge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Alternância, se os termos decrescem para zero, a série converge.
Passo 7
Com isso, incluindo os pontos finais, o intervalo máximo de convergência é: