b) integral4^3 raiz6-x d x ( ) integral4^3 raizx-2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está pedindo a questão. Temos duas integrais definidas:
integral4^3 raiz6 - x , dx e integral4^3 raizx - 2 , dx
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais definidas, que nos ajuda a encontrar a área sob uma curva entre dois pontos. Para resolver isso, precisamos saber como integrar funções do tipo e .

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira integral:
integral4^3 raiz6 - x , dx
Primeiro, note que o limite superior é 3 e o inferior é 4. Sempre que o limite superior for menor que o inferior, podemos inverter os limites trocando o sinal da integral:
integral4^3 raiz6 - x , dx = -integral3^4 raiz6 - x , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja -integral3^4 raiz6 - x , dx = -integralu(3)^u(4) raizu , (-du) = integralu(3)^u(4) raizu , du . Então, integral3^4 raiz6 - x , dx = integral3^2 raizu , du = -integral2^3 raizu , du ou .
Substituindo na integral:
Calculando os novos limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então,

Passo 4

Integrando integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
-[ 23 u^3/2 ]2^3 = -( 23 (3)^3/2 - 23 (2)^3/2 ) = -( 23 cdot 3raiz3 - 23 cdot 2raiz2 )
Aplicando os limites de 2 a 3:
- ( 2raiz3 - 43raiz2 ) = -2raiz3 + 43raiz2
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral4^3 raizx - 2 , dx
Assim como antes, invertendo os limites:
integral4^3 raizx - 2 , dx = -integral3^4 raizx - 2 , dx

Passo 6

Fazendo uma substituição semelhante, seja -integral3^4 raizx - 2 , dx = -integralv(3)^v(4) raizv , dv . Então, -integral1^2 raizv , dv = -[ 23 v^3/2 ]1^2 = -( 23 (2)^3/2 - 23 (1)^3/2 ) .
Substituindo na integral:
- ( 23 cdot 2raiz2 - 23 cdot 1 ) = -( 43raiz2 - 23 ) = -43raiz2 + 23
Calculando os novos limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então,
Simplificando:

Resposta

Após resolver as duas integrais, temos:
integral4^3 raiz6 - x , dx = -2raiz3 + 43raiz2
integral4^3 raizx - 2 , dx = -43raiz2 + 23

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