b) ( )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está pedindo a questão. Temos duas integrais definidas:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais definidas, que nos ajuda a encontrar a área sob uma curva entre dois pontos. Para resolver isso, precisamos saber como integrar funções do tipo e .

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira integral:
Primeiro, note que o limite superior é 3 e o inferior é 4. Sempre que o limite superior for menor que o inferior, podemos inverter os limites trocando o sinal da integral:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja . Então, ou .
Substituindo na integral:
Calculando os novos limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então,

Passo 4

Integrando :
Aplicando os limites de 2 a 3:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Assim como antes, invertendo os limites:

Passo 6

Fazendo uma substituição semelhante, seja . Então, .
Substituindo na integral:
Calculando os novos limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então,
Simplificando:

Resposta

Após resolver as duas integrais, temos:

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a)
a)
d) é a região limitada pela curva pelo eixo e pelas retas e .
g) é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .