a) integral-1^2(2 x^2-4 x+5) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre Integrais Definidas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a antiderivada da função e, em seguida, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função . A antiderivada de uma função é uma função cuja derivada nos dá a função original. Para cada termo da nossa função, vamos integrar separadamente.

Passo 3

Vamos integrar cada termo:
  1. Integrando integral 2x^2 , dx = 2 cdot x^33 = 23x^3 :
    integral -4x , dx = -4 cdot x^22 = -2x^2
    Aqui, usamos a regra básica de integração para potências: integral 5 , dx = 5x .
  2. Integrando :
    Novamente, aplicamos a regra de potências.
  3. Integrando :
    A integral de uma constante é simplesmente .

Passo 4

Agora, somando as antiderivadas dos três termos, temos a antiderivada completa da função:
F(x) = 23x^3 - 2x^2 + 5x

Passo 5

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, para calcular a integral definida de integral-1^2 (2x^2 - 4x + 5) dx = F(2) - F(-1) a , precisamos avaliar a antiderivada nos limites superior e inferior e depois subtrair:

Passo 6

Vamos calcular F(2) = 23(2)^3 - 2(2)^2 + 5(2) = 23 cdot 8 - 2 cdot 4 + 10 = 163 - 8 + 10 :
163 - 8 + 10 = 163 + 2 = 223
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular F(-1) = 23(-1)^3 - 2(-1)^2 + 5(-1) = 23 cdot (-1) - 2 cdot 1 - 5 = -23 - 2 - 5 :
-23 - 7 = -233
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
F(2) - F(-1) = 223 - (-233) = 223 + 233 = 453 = 15

Resposta

A integral definida de de a é igual a 15.

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