a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre Integrais Definidas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a antiderivada da função e, em seguida, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função
. A antiderivada de uma função é uma função cuja derivada nos dá a função original. Para cada termo da nossa função, vamos integrar separadamente.
Passo 3
Vamos integrar cada termo:
-
Integrando
: Aqui, usamos a regra básica de integração para potências:. -
Integrando
: Novamente, aplicamos a regra de potências. -
Integrando
: A integral de uma constanteé simplesmente .
Passo 4
Agora, somando as antiderivadas dos três termos, temos a antiderivada completa da função:
Passo 5
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, para calcular a integral definida de
a
, precisamos avaliar a antiderivada nos limites superior e inferior e depois subtrair:
Passo 6
Vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
Resposta
A integral definida de
de
a
é igual a 15.