d)
é a região limitada pela curva
pelo eixo
e pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma região chamada
que está limitada pela curva
, pelo eixo
(que é onde
) e pelas retas verticais
e
. O conteúdo que vamos precisar aqui é cálculo, especificamente integração para encontrar a área dessa região. Vamos calcular a área entre essas curvas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Essa é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de
é positivo. Queremos ver onde essa curva cruza o eixo
, ou seja, quando
.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção com o eixo
, resolvemos
:
Fatorando:
Então, as raízes são
e
. Isso significa que a parábola cruza o eixo
nesses pontos.
Passo 4
Agora, queremos a área entre
e
. Para isso, vamos integrar a função
em relação a
de 1 a 3. A fórmula geral para a área
é:
Aqui,
é a função superior e
é a função inferior. No nosso caso, a função superior é a curva
e a função inferior é o eixo
, que é
.
Passo 5
Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3.
Passo 7
Calculamos a antiderivada em
e
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, subtraímos o valor em
do valor em
:
Como a área não pode ser negativa, pegamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
b)
( )
a)
g)
é a região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
.
j)
é a região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
.