d) é a região limitada pela curva pelo eixo e pelas retas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma região chamada que está limitada pela curva , pelo eixo (que é onde ) e pelas retas verticais e . O conteúdo que vamos precisar aqui é cálculo, especificamente integração para encontrar a área dessa região. Vamos calcular a área entre essas curvas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Essa é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de é positivo. Queremos ver onde essa curva cruza o eixo , ou seja, quando .

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção com o eixo , resolvemos :
Fatorando:
Então, as raízes são e . Isso significa que a parábola cruza o eixo nesses pontos.

Passo 4

Agora, queremos a área entre e . Para isso, vamos integrar a função em relação a de 1 a 3. A fórmula geral para a área é:
Aqui, é a função superior e é a função inferior. No nosso caso, a função superior é a curva e a função inferior é o eixo , que é .

Passo 5

Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3.

Passo 7

Calculamos a antiderivada em e :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, subtraímos o valor em do valor em :
Como a área não pode ser negativa, pegamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

b) ( )
a)
g) é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .
j) é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .