g)
é a região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área
que está limitada pela curva
, pelo eixo
(que é onde
), e pelas retas verticais
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta da matemática que ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Essa é uma função polinomial que pode ter pontos onde cruza o eixo
. Vamos encontrar esses pontos para saber onde a curva e o eixo
se encontram.
Para isso, igualamos
a zero:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções
,
e
. Então, a curva cruza o eixo
nesses pontos.
Passo 3
Agora que sabemos onde a curva cruza o eixo
, podemos visualizar que a área que queremos calcular fica entre
e
, e está limitada pela curva e pelo eixo
.
Para calcular essa área, vamos integrar a função
de
a
. A integral dessa função nos dá a área entre a curva e o eixo
nesse intervalo.
Então, a integral que vamos calcular é:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada termo:
Assim, a antiderivada da função é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, de
a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Então:
Hmm, parece que algo deu errado aqui porque a área não pode ser zero. Isso acontece porque a função
é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem, e as áreas positivas e negativas se cancelam nesse intervalo. Para encontrar a área total, precisamos considerar apenas os valores positivos.
Passo 6
Para calcular a área total, vamos integrar o valor absoluto da função:
Como a função é par nesse intervalo, podemos calcular o dobro da integral de
a
:
Agora, integrando:
Avaliado de
a
:
Multiplicando por 2:
Resposta
A área
da região limitada é
unidades de área.
Exercícios relacionados
d)
é a região limitada pela curva
pelo eixo
e pelas retas
e
.
b)
( )
j)
é a região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
.
d)