g) é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área que está limitada pela curva , pelo eixo (que é onde ), e pelas retas verticais e . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta da matemática que ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Essa é uma função polinomial que pode ter pontos onde cruza o eixo . Vamos encontrar esses pontos para saber onde a curva e o eixo se encontram.
Para isso, igualamos a zero:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções , e . Então, a curva cruza o eixo nesses pontos.

Passo 3

Agora que sabemos onde a curva cruza o eixo , podemos visualizar que a área que queremos calcular fica entre e , e está limitada pela curva e pelo eixo .
Para calcular essa área, vamos integrar a função de a . A integral dessa função nos dá a área entre a curva e o eixo nesse intervalo.
Então, a integral que vamos calcular é:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada termo:
Assim, a antiderivada da função é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então:
Hmm, parece que algo deu errado aqui porque a área não pode ser zero. Isso acontece porque a função é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem, e as áreas positivas e negativas se cancelam nesse intervalo. Para encontrar a área total, precisamos considerar apenas os valores positivos.

Passo 6

Para calcular a área total, vamos integrar o valor absoluto da função:
Como a função é par nesse intervalo, podemos calcular o dobro da integral de a :
Agora, integrando:
Avaliado de a :
Multiplicando por 2:

Resposta

A área da região limitada é unidades de área.

Exercícios relacionados

d) é a região limitada pela curva pelo eixo e pelas retas e .
b) ( )
j) é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .
d)