(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma série infinita dada por
e o objetivo é integrar cada termo dela para encontrar a soma dessa série. Estamos lidando com séries de potências e integração termo a termo, então vamos usar esses conceitos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é
. Nosso próximo passo é integrar esse termo em relação a
.
Passo 3
Integrando o termo geral, temos:
Como
e
são constantes em relação a
, podemos tirar eles da integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar
:
Portanto, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, aplicando a integração termo a termo para toda a série, temos:
Passo 6
Para encontrar a soma dessa série integrada, vamos lembrar de uma série conhecida: a série da função arco-tangente (
). Sabemos que:
Isso significa que a série que integramos originalmente está relacionada à derivada de
.
Passo 7
Integrando a série da
, obtemos:
Sabemos que a integral de
é:
Passo 8
Comparando as duas expressões, concluímos que a soma da série integrada é igual a
mais uma constante, que podemos considerar zero se escolhermos
para simplificar.
Resposta
A soma da série é
.