(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+12 n+1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma série infinita dada por e o objetivo é integrar cada termo dela para encontrar a soma dessa série. Estamos lidando com séries de potências e integração termo a termo, então vamos usar esses conceitos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Nosso próximo passo é integrar esse termo em relação a .

Passo 3

Integrando o termo geral, temos:
integral an , dx = integral (-1)^n x^2n+12n+1 , dx
Como = (-1)^n 12n+1 integral x^2n+1 , dx e são constantes em relação a , podemos tirar eles da integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral x^2n+1 , dx = x^2n+22n+2 + C :
integral an , dx = (-1)^n x^2n+2(2n+1)(2n+2) + C
Portanto, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, aplicando a integração termo a termo para toda a série, temos:
sumn=0^+infty (-1)^n x^2n+2(2n+1)(2n+2) + C

Passo 6

Para encontrar a soma dessa série integrada, vamos lembrar de uma série conhecida: a série da função arco-tangente ( arctan x = sumn=0^+infty (-1)^n x^2n+12n+1 ). Sabemos que:
Isso significa que a série que integramos originalmente está relacionada à derivada de .

Passo 7

Integrando a série da integral arctan x , dx = sumn=0^+infty (-1)^n x^2n+2(2n+1)(2n+2) + C , obtemos:
arctan x cdot x - 12 ln(1+x^2) + C
Sabemos que a integral de é:

Passo 8

Comparando as duas expressões, concluímos que a soma da série integrada é igual a mais uma constante, que podemos considerar zero se escolhermos para simplificar.

Resposta

A soma da série é .

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