Calcule o limite, se existir, conforme descrito abaixo:
Passo 1
Beleza, temos que calcular o limite da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo de Limites de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como os limites funcionam quando x e y se aproximam de certos valores ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando (x, y) se aproxima de (1,1). Substituindo x = 1 e y = 1 na função:
Numerador:
Denominador:
Então, o limite parece ser do tipo , o que sugere que o limite pode não existir ou tender para infinito.
Denominador:
Então, o limite parece ser do tipo
Passo 3
Para verificar se o limite existe, vamos ver se o resultado é o mesmo ao nos aproximarmos de (1,1) por diferentes caminhos. Se os resultados forem diferentes, o limite não existe.
Passo 4
Vamos primeiro nos aproximar de (1,1) pela linha y = x. Substituindo y por x na função:
Aqui, o denominador é sempre zero, mas o numerador
tende para
. Portanto, ao se aproximar por essa linha, o limite tende para
ou
dependendo do valor de x.
Passo 5
Agora, vamos nos aproximar de (1,1) pela linha y = 1. Substituindo y por 1 na função:
Aqui, conforme x se aproxima de 1, o denominador
tende a 0, mas o numerador
tende a
. Novamente, isso sugere que o limite tende para
ou
.
Passo 6
Como nos aproximamos pelo caminho y = x e y = 1 e ambos os caminhos nos levam a um comportamento indefinido (tendendo para infinito positivo ou negativo), mas não temos um valor consistente, isso indica que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.