Calcule o limite, se existir, conforme descrito abaixo: lim (x, y) (1,1) sin (x+y)x^2-y^2

Passo 1

Beleza, temos que calcular o limite da função lim (x, y) (1,1) sin (x+y)x^2-y^2. Isso faz parte da matéria de Cálculo de Limites de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como os limites funcionam quando x e y se aproximam de certos valores ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando (x, y) se aproxima de (1,1). Substituindo x = 1 e y = 1 na função:
Numerador: sin(1 + 1) = sin(2)
Denominador: 1^2 - 1^2 = 0
Então, o limite parece ser do tipo sin(2)0, o que sugere que o limite pode não existir ou tender para infinito.

Passo 3

Para verificar se o limite existe, vamos ver se o resultado é o mesmo ao nos aproximarmos de (1,1) por diferentes caminhos. Se os resultados forem diferentes, o limite não existe.

Passo 4

Vamos primeiro nos aproximar de (1,1) pela linha y = x. Substituindo y por x na função:
sin(x + x)x^2 - x^2 = sin(2x)0
Aqui, o denominador é sempre zero, mas o numerador sin(2x) tende para sin(2). Portanto, ao se aproximar por essa linha, o limite tende para infty ou -infty dependendo do valor de x.

Passo 5

Agora, vamos nos aproximar de (1,1) pela linha y = 1. Substituindo y por 1 na função:
sin(x + 1)x^2 - 1
Aqui, conforme x se aproxima de 1, o denominador x^2 - 1 tende a 0, mas o numerador sin(x + 1) tende a sin(2). Novamente, isso sugere que o limite tende para infty ou -infty.

Passo 6

Como nos aproximamos pelo caminho y = x e y = 1 e ambos os caminhos nos levam a um comportamento indefinido (tendendo para infinito positivo ou negativo), mas não temos um valor consistente, isso indica que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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