, onde é a região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente tem que calcular a integral sobre a região D, que está no primeiro quadrante e é delimitada pelo círculo . O conteúdo principal aqui é cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares. Vamos precisar converter a integral para coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e a área diferencial vira . A região D, que é o primeiro quadrante do círculo de raio 4 (já que ), vai de a e de a .
Passo 3
Substituindo tudo na integral, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , então ou . A integral fica:
Integrando, obtemos:
Então, a integral interna vale .
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a integral0^pi2 (1 - 1raiz17) , dtheta = (1 - 1raiz17) cdot pi2 :