integral duplaD 1(1+x^2+y^2)^3 / 2 d A, onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo x^2+y^2=16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente tem que calcular a integral sobre a região D, que está no primeiro quadrante e é delimitada pelo círculo . O conteúdo principal aqui é cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares. Vamos precisar converter a integral para coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e a área diferencial vira . A região D, que é o primeiro quadrante do círculo de raio 4 (já que ), vai de a e de a .

Passo 3

Substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaD 1(1 + x^2 + y^2)^3/2 , dA = integral0^pi2 integral0^4 1(1 + r^2)^3/2 cdot r , dr , dtheta
Isso simplifica para:
integral0^pi2 integral0^4 r(1 + r^2)^3/2 , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^4 r(1 + r^2)^3/2 , dr :
12 integral1^17 u^-3/2 , du
Fazendo a substituição 12 [ -2u^-1/2 ]1^17 = -u^-1/2 g|1^17 = -1raiz17 + 1 , então ou . A integral fica:
Integrando, obtemos:
Então, a integral interna vale .

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^pi2 (1 - 1raiz17) , dtheta = (1 - 1raiz17) cdot pi2 :

Resposta

O valor da integral é .

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