Estude a continuidade das seguintes funções: g(x, y) = (sen(x) * sen(y)) / (x^2 + y^2) no ponto (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai estudar se a função é contínua no ponto . Isso faz parte do conteúdo de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é limite e como ele se comporta quando nos aproximamos de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função está definida no ponto . Se a gente tentar substituir e na função, a gente tem , que é uma forma indefinida. Isso significa que a função não está definida nesse ponto, então para estudar a continuidade, a gente precisa investigar o limite da função quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando . Para simplificar, podemos usar coordenadas polares, onde e , com . Substituindo na função:
Sabemos que para valores pequenos de , . Então:

Passo 4

Agora, o limite depende de , ou seja, depende do caminho pelo qual nos aproximamos de . Por exemplo:
  • Se (caminho ao longo do eixo ), temos .
  • Se , temos .
Como o limite dá valores diferentes dependendo do , isso significa que o limite não existe de maneira única quando .

Resposta

Como o limite de quando depende do caminho seguido e não é único, a função não é contínua no ponto .

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