Estude a continuidade das seguintes funções:
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai estudar se a função
é contínua no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é limite e como ele se comporta quando nos aproximamos de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função está definida no ponto
. Se a gente tentar substituir
e
na função, a gente tem
, que é uma forma indefinida. Isso significa que a função não está definida nesse ponto, então para estudar a continuidade, a gente precisa investigar o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
. Para simplificar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, com
. Substituindo na função:
Sabemos que para valores pequenos de
,
. Então:
Passo 4
Agora, o limite depende de
, ou seja, depende do caminho pelo qual nos aproximamos de
. Por exemplo:
- Se
(caminho ao longo do eixo ), temos . - Se
, temos .
Como o limite dá valores diferentes dependendo do
, isso significa que o limite não existe de maneira única quando
.
Resposta
Como o limite de
quando
depende do caminho seguido e não é único, a função
não é contínua no ponto
.