, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
as retas
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente tem que calcular a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pelo círculo
, pela reta
e pela reta
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e talvez coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Estamos no primeiro quadrante, então
e
. O círculo
tem raio 3. As retas que limitam a região são
e
(o eixo x). Então,
é a parte do círculo no primeiro quadrante entre
e
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que a região é circular. Em coordenadas polares, temos:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. O raio
vai de 0 até 3 (raio do círculo). O ângulo
vai de 0 até
, porque a reta
corresponde a
no primeiro quadrante.
Passo 5
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral dupla é igual a
.