(b) Em qual intervalo a função g(x)=integral1^x t^2(1-ln t) d t é decrescente?.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre quando a função está decrescente. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas. Para descobrir onde a função é decrescente, vamos precisar calcular a derivada de e analisar onde essa derivada é menor que zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida como uma integral, sua derivada é igual à função dentro da integral avaliada no ponto g'(x) = ddx ( integral1^x t^2(1 - ln t) , dt ) = x^2(1 - ln x) . Ou seja:

Passo 3

Agora que temos a derivada g'(x) < 0 implies x^2(1 - ln x) < 0 , queremos encontrar onde essa derivada é negativa, porque isso indica que a função está decrescente.
Então, vamos resolver a inequação:

Passo 4

Observamos que 1 - ln x < 0 implies ln x > 1 é sempre positivo para qualquer x > e diferente de zero. Portanto, o sinal da expressão depende apenas do termo .
Então, precisamos que:
Resolvendo para :
onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,718.

Resposta

A função é decrescente para todos os valores de maiores que . Ou seja, é decrescente no intervalo .

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