(b) Em qual intervalo a função
é decrescente?.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre quando a função
está decrescente. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas. Para descobrir onde a função é decrescente, vamos precisar calcular a derivada de
e analisar onde essa derivada é menor que zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida como uma integral, sua derivada é igual à função dentro da integral avaliada no ponto
. Ou seja:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, queremos encontrar onde essa derivada é negativa, porque isso indica que a função
está decrescente.
Então, vamos resolver a inequação:
Passo 4
Observamos que
é sempre positivo para qualquer
diferente de zero. Portanto, o sinal da expressão
depende apenas do termo
.
Então, precisamos que:
Resolvendo para
:
onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,718.
Resposta
A função
é decrescente para todos os valores de
maiores que
. Ou seja,
é decrescente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Suponha que você sabe que a série
converge para
. O que você pode dizer da série a seguir? Por quê?
Seja
e
mostre que
Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência.
Seja
e
mostre que