Suponha que você sabe que a série
converge para
. O que você pode dizer da série a seguir? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências, que é uma soma infinita tipo
, e sabemos que ela converge quando o valor absoluto de
é menor que 2, ou seja, para
. O conteúdo aqui envolve séries de potências e o conceito de raio de convergência. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como alterar a série original e o que isso significa para o seu comportamento, especialmente para a nova série que a gente vai analisar.
Passo 2
A nova série que a gente quer analisar é
. Primeiro, vamos simplificar essa expressão para ver se conseguimos relacionar com a série original. Observando bem, podemos reescrever a série assim:
Então, basicamente, estamos multiplicando a série por
e dividindo cada termo por
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de um conceito importante: integração de séries de potências. Quando integramos uma série termo a termo, a convergência dela depende do intervalo de convergência original. A série original converge para
, então a integral dessa série também vai convergir nesse mesmo intervalo.
Matematicamente, integrar a série original dá exatamente a série que estamos analisando:
Isso mostra que a nova série é a integral da série original multiplicada por
.
Passo 4
Como a série original converge para
, e a operação de integração não altera o raio de convergência, isso significa que a nova série também vai convergir para os mesmos valores de
. Além disso, o fato de termos multiplicado por
não muda o intervalo de convergência, já que
está dentro de
.
Resposta
A nova série
também converge para
, pois é a integral da série original, que mantém o mesmo raio de convergência.
Exercícios relacionados
Seja
e
mostre que
Considere a série
.
Mostre que é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0).
Mostre que
(b) Em qual intervalo a função
é decrescente?.
Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência.