Suponha que você sabe que a série sumn=0^infty bn x^n converge para |x|<2. O que você pode dizer da série a seguir? Por quê?
sumn=0^infty bnn+1 x^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências, que é uma soma infinita tipo sumn=0^infty bn x^n, e sabemos que ela converge quando o valor absoluto de x é menor que 2, ou seja, para |x| < 2. O conteúdo aqui envolve séries de potências e o conceito de raio de convergência. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como alterar a série original e o que isso significa para o seu comportamento, especialmente para a nova série que a gente vai analisar.

Passo 2

A nova série que a gente quer analisar é sumn=0^infty bnn+1 x^n+1. Primeiro, vamos simplificar essa expressão para ver se conseguimos relacionar com a série original. Observando bem, podemos reescrever a série assim:
sumn=0^infty bnn+1 x^n+1 = x sumn=0^infty bnn+1 x^n
Então, basicamente, estamos multiplicando a série por x e dividindo cada termo por (n+1).

Passo 3

Agora, vamos lembrar de um conceito importante: integração de séries de potências. Quando integramos uma série termo a termo, a convergência dela depende do intervalo de convergência original. A série original converge para |x| < 2, então a integral dessa série também vai convergir nesse mesmo intervalo.
Matematicamente, integrar a série original dá exatamente a série que estamos analisando:
integral sumn=0^infty bn x^n dx = sumn=0^infty bnn+1 x^n+1
Isso mostra que a nova série é a integral da série original multiplicada por x.

Passo 4

Como a série original converge para |x| < 2, e a operação de integração não altera o raio de convergência, isso significa que a nova série também vai convergir para os mesmos valores de x. Além disso, o fato de termos multiplicado por x não muda o intervalo de convergência, já que x está dentro de |x| < 2.

Resposta

A nova série sumn=0^infty bnn+1 x^n+1 também converge para |x| < 2, pois é a integral da série original, que mantém o mesmo raio de convergência.

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