Seja r(x, y) = x i + y j + z k e r = |r| mostre que ∇ · (r r) = 4 r

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor posição e sua magnitude . O objetivo é mostrar que a divergente de é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a operação de divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergente. Para um campo vetorial , a divergente é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente do vetor.

Passo 3

Agora, vamos expressar . Sabemos que , então:
Aqui, as componentes do vetor são , e .

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente. Começando por :
Para resolver isso, usamos a regra do produto, que diz que .

Passo 5

Aplicando a regra do produto em :
Fazemos a mesma coisa para as outras componentes:

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas parciais para obter a divergente:
Sabemos que , então substituímos na equação.

Passo 7

Substituindo na expressão:

Resposta

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Considere a série sumn=0^infty x^nn!.
Mostre que e^-x f(x) é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0).
(a) Calcule y^prime(x) para y(x)=integralx^2^x^4 cos (raizt) d t
Suponha que você sabe que a série sumn=0^infty bn x^n converge para |x|<2. O que você pode dizer da série a seguir? Por quê?
sumn=0^infty bnn+1 x^n+1
(b) Em qual intervalo a função g(x)=integral1^x t^2(1-ln t) d t é decrescente?.