Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar uma série de potências centrada em 0 para ela. Isso significa expressar
como uma soma infinita do tipo
. Além disso, precisamos descobrir para quais valores de
essa série converge, ou seja, dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e como manipulá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar transformar a função
para se parecer com uma série geométrica, que sabemos como trabalhar. A ideia é separar a fração em duas partes:
Isso nos ajuda a dividir a função em duas partes mais simples para expandir em série.
Passo 3
Sabemos que a série geométrica básica é:
Vamos aplicar isso às duas partes que separamos.
Para a primeira parte:
Passo 4
Agora, olhemos para a segunda parte:
Isso significa que estamos multiplicando cada termo da série geométrica por
.
Passo 5
Vamos somar as duas séries que obtivemos:
Podemos reescrever a segunda soma começando de
:
Passo 6
Portanto, a série de potências para
fica:
Passo 7
Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica
converge para
. Como nossa série
é basicamente essa série multiplicada por 2 (a partir do termo
), o intervalo de convergência continua sendo o mesmo:
Resposta
A representação em série de potências centrada em 0 para a função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
(b) Em qual intervalo a função
é decrescente?.
Suponha que você sabe que a série
converge para
. O que você pode dizer da série a seguir? Por quê?
Seja
e
mostre que
Determine as trajetórias ortogonais a
e esboce o gráfico.