Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência.
f(x) = (1+x)/(1-x)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos encontrar uma série de potências centrada em 0 para ela. Isso significa expressar como uma soma infinita do tipo . Além disso, precisamos descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e como manipulá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar transformar a função para se parecer com uma série geométrica, que sabemos como trabalhar. A ideia é separar a fração em duas partes:
Isso nos ajuda a dividir a função em duas partes mais simples para expandir em série.

Passo 3

Sabemos que a série geométrica básica é:
Vamos aplicar isso às duas partes que separamos.
Para a primeira parte:

Passo 4

Agora, olhemos para a segunda parte:
Isso significa que estamos multiplicando cada termo da série geométrica por .

Passo 5

Vamos somar as duas séries que obtivemos:
Podemos reescrever a segunda soma começando de :

Passo 6

Portanto, a série de potências para fica:

Passo 7

Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge para . Como nossa série é basicamente essa série multiplicada por 2 (a partir do termo ), o intervalo de convergência continua sendo o mesmo:

Resposta

A representação em série de potências centrada em 0 para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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