Se B é invertível e
é auto-adjunto, prove que
é autoadjunto.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que se
é uma matriz invertível e
é auto-adjunto, a gente precisa provar que
também é auto-adjunto. Vamos usar conceitos de matrizes e propriedades de matrizes auto-adjuntas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz auto-adjunta. Uma matriz
é auto-adjunta se ela for igual à sua transposta conjugada, ou seja,
.
Passo 3
Sabemos também que
é invertível, o que significa que existe uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 4
O enunciado nos diz que
é auto-adjunto. Então, podemos escrever:
Passo 5
Vamos calcular a adjunta do produto de matrizes. Lembrando que
, aplicamos isso a
:
Passo 6
Agora, igualando as duas expressões, já que
é auto-adjunto:
Passo 7
Para isolar
, vamos multiplicar os dois lados pela inversa de
à esquerda e pela inversa de
à direita:
Passo 8
Simplificando, já que
e
:
Resposta
Então, mostramos que
é auto-adjunto.
Exercícios relacionados
Sejam
operadores auto-adjuntos tais que
para todo
. Prove que
.
Dê exemplo de:
Três vetores: e
, sendo
L.I.,
L.I.,
e
não são múltiplos de
e
L.D.
Três vetores:
(Sistemas de equações lineares) Resolver os sistemas de equações lineares
Seja
auto-adjunto. Prove que
implica
.