Se B é invertível e é auto-adjunto, prove que é autoadjunto.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que se é uma matriz invertível e é auto-adjunto, a gente precisa provar que também é auto-adjunto. Vamos usar conceitos de matrizes e propriedades de matrizes auto-adjuntas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz auto-adjunta. Uma matriz é auto-adjunta se ela for igual à sua transposta conjugada, ou seja, .

Passo 3

Sabemos também que é invertível, o que significa que existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 4

O enunciado nos diz que é auto-adjunto. Então, podemos escrever:

Passo 5

Vamos calcular a adjunta do produto de matrizes. Lembrando que , aplicamos isso a :

Passo 6

Agora, igualando as duas expressões, já que é auto-adjunto:

Passo 7

Para isolar , vamos multiplicar os dois lados pela inversa de à esquerda e pela inversa de à direita:

Passo 8

Simplificando, já que e :

Resposta

Então, mostramos que é auto-adjunto.

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