Sejam A, B: E E operadores auto-adjuntos tais que lang<=A v, vrang<==lang<=B v, vrang<= para todo v in E. Prove que A=B.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos dois operadores auto-adjuntos, e , que mapeiam um espaço vetorial em si mesmo. A condição dada é que, para todo vetor em , os produtos internos e são iguais. Nosso objetivo é provar que e são, na verdade, o mesmo operador, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  1. Operadores Auto-Adjuntos: São operadores que satisfazem , onde é o adjunto de . Isso implica que para todos os vetores em .
  2. Produto Interno: Uma função que associa a cada par de vetores em um número escalar, denotado por , satisfazendo certas propriedades (linearidade, simetria, positividade).
Vamos resolver o problema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a diferença entre os operadores e . Vamos definir um novo operador . Nosso objetivo será mostrar que , ou seja, que .

Passo 3

Como e são auto-adjuntos, a diferença também é auto-adjunta. Isso ocorre porque a soma ou diferença de operadores auto-adjuntos é novamente um operador auto-adjunto.

Passo 4

A condição dada no problema é lang<= A v, v rang<= - lang<= B v, v rang<= = lang<= (A - B) v, v rang<= = lang<= C v, v rang<= = 0 para todo . Vamos reescrever isso em termos de :
Portanto, temos que para todo .

Passo 5

Agora, vamos utilizar uma propriedade importante dos operadores auto-adjuntos: se é auto-adjunto e para todo , então .
Explicando melhor, como é auto-adjunto, os seus valores próprios são reais. A condição implica que todos os valores próprios de são zero, o que só é possível se for o operador nulo.

Passo 6

Como mostramos que , concluímos que .

Resposta

Portanto, .

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