Sejam
operadores auto-adjuntos tais que
para todo
. Prove que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos dois operadores auto-adjuntos,
e
, que mapeiam um espaço vetorial
em si mesmo. A condição dada é que, para todo vetor
em
, os produtos internos
e
são iguais. Nosso objetivo é provar que
e
são, na verdade, o mesmo operador, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
-
Operadores Auto-Adjuntos: São operadores que satisfazem
, onde é o adjunto de . Isso implica que para todos os vetores em . -
Produto Interno: Uma função que associa a cada par de vetores
em um número escalar, denotado por , satisfazendo certas propriedades (linearidade, simetria, positividade).
Vamos resolver o problema passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a diferença entre os operadores
e
. Vamos definir um novo operador
. Nosso objetivo será mostrar que
, ou seja, que
.
Passo 3
Como
e
são auto-adjuntos, a diferença
também é auto-adjunta. Isso ocorre porque a soma ou diferença de operadores auto-adjuntos é novamente um operador auto-adjunto.
Passo 4
A condição dada no problema é
para todo
. Vamos reescrever isso em termos de
:
Portanto, temos que
para todo
.
Passo 5
Agora, vamos utilizar uma propriedade importante dos operadores auto-adjuntos: se
é auto-adjunto e
para todo
, então
.
Explicando melhor, como
é auto-adjunto, os seus valores próprios são reais. A condição
implica que todos os valores próprios de
são zero, o que só é possível se
for o operador nulo.
Passo 6
Como mostramos que
, concluímos que
.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Dê exemplo de:
Três vetores: e
, sendo
L.I.,
L.I.,
e
não são múltiplos de
e
L.D.
Três vetores:
Dê exemplo de:
Quatro vetores: e
, sendo
L.L.,
L.I.,
e
não são combinação linear de
e
e
L.D.
Quatro vetores:
Se B é invertível e
é auto-adjunto, prove que
é autoadjunto.
(Sistemas de equações lineares) Resolver os sistemas de equações lineares