Seja A auto-adjunto. Prove que A^k v=0 implica A v=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que A é um operador auto-adjunto e que A^k v = 0. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre operadores lineares e propriedades de operadores auto-adjuntos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um operador ser auto-adjunto e como isso influencia nos vetores que ele atua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador A é auto-adjunto se ele é igual ao seu adjunto, ou seja, A = A^*. Isso significa que, em espaços com produto interno, a matriz de A é igual à sua transposta conjugada. Uma propriedade importante de operadores auto-adjuntos é que eles são diagonalizáveis e possuem valores próprios reais.

Passo 3

Agora, como A é auto-adjunto e diagonalizável, podemos escrever A em uma base de seus vetores próprios. Ou seja, existe uma base onde A é representado por uma matriz diagonal com seus valores próprios na diagonal. Isso facilita bastante a análise de potências de A.

Passo 4

Se A^k v = 0, isso significa que ao aplicar o operador A repetidamente k vezes no vetor v, o resultado é o vetor nulo. Mas, como A é diagonalizável, isso implica que para cada componente de v nessa base de vetores próprios, o valor próprio correspondente elevado a k vezes essa componente é zero.

Passo 5

Como os valores próprios de A são reais e A é diagonalizável, a única maneira de (lambdai)^k vi = 0 ocorrer para cada componente é se cada vi = 0 ou lambdai = 0. Mas, se aplicarmos A v = 0, isso implica diretamente que cada componente vi também deve ser zero ou lambdai vi = 0. Como queremos provar que A v = 0, concluímos que v deve estar no núcleo de A.

Resposta

Portanto, se A^k v = 0 e A é auto-adjunto, então necessariamente A v = 0.

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