Seja auto-adjunto. Prove que implica .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que é um operador auto-adjunto e que . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre operadores lineares e propriedades de operadores auto-adjuntos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um operador ser auto-adjunto e como isso influencia nos vetores que ele atua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador é auto-adjunto se ele é igual ao seu adjunto, ou seja, . Isso significa que, em espaços com produto interno, a matriz de é igual à sua transposta conjugada. Uma propriedade importante de operadores auto-adjuntos é que eles são diagonalizáveis e possuem valores próprios reais.

Passo 3

Agora, como é auto-adjunto e diagonalizável, podemos escrever em uma base de seus vetores próprios. Ou seja, existe uma base onde é representado por uma matriz diagonal com seus valores próprios na diagonal. Isso facilita bastante a análise de potências de .

Passo 4

Se , isso significa que ao aplicar o operador repetidamente vezes no vetor , o resultado é o vetor nulo. Mas, como é diagonalizável, isso implica que para cada componente de nessa base de vetores próprios, o valor próprio correspondente elevado a vezes essa componente é zero.

Passo 5

Como os valores próprios de são reais e é diagonalizável, a única maneira de ocorrer para cada componente é se cada ou . Mas, se aplicarmos , isso implica diretamente que cada componente também deve ser zero ou . Como queremos provar que , concluímos que deve estar no núcleo de .

Resposta

Portanto, se e é auto-adjunto, então necessariamente .

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com as operações:
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