Seja
auto-adjunto. Prove que
implica
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que
é um operador auto-adjunto e que
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre operadores lineares e propriedades de operadores auto-adjuntos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um operador ser auto-adjunto e como isso influencia nos vetores que ele atua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador
é auto-adjunto se ele é igual ao seu adjunto, ou seja,
. Isso significa que, em espaços com produto interno, a matriz de
é igual à sua transposta conjugada. Uma propriedade importante de operadores auto-adjuntos é que eles são diagonalizáveis e possuem valores próprios reais.
Passo 3
Agora, como
é auto-adjunto e diagonalizável, podemos escrever
em uma base de seus vetores próprios. Ou seja, existe uma base onde
é representado por uma matriz diagonal com seus valores próprios na diagonal. Isso facilita bastante a análise de potências de
.
Passo 4
Se
, isso significa que ao aplicar o operador
repetidamente
vezes no vetor
, o resultado é o vetor nulo. Mas, como
é diagonalizável, isso implica que para cada componente de
nessa base de vetores próprios, o valor próprio correspondente elevado a
vezes essa componente é zero.
Passo 5
Como os valores próprios de
são reais e
é diagonalizável, a única maneira de
ocorrer para cada componente é se cada
ou
. Mas, se aplicarmos
, isso implica diretamente que cada componente
também deve ser zero ou
. Como queremos provar que
, concluímos que
deve estar no núcleo de
.
Resposta
Portanto, se
e
é auto-adjunto, então necessariamente
.
Exercícios relacionados
(Sistemas de equações lineares) Resolver os sistemas de equações lineares
Se B é invertível e
é auto-adjunto, prove que
é autoadjunto.
Quais das seguintes estruturas
são espaços vetoriais reais (
representa um conjunto,
e
representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.