Dê exemplo de:
Três vetores: e , sendo L.I., L.I., e não são múltiplos de e L.D.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos dar exemplos de três vetores e com as seguintes propriedades:
  1. é linearmente independente (L.I.).
  2. é linearmente independente (L.I.).
  3. e não são múltiplos de .
  4. é linearmente dependente (L.D.).
Vamos precisar usar conceitos de independência e dependência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Por exemplo, ser L.I. simplesmente significa que não é o vetor zero.

Passo 3

Agora, ser L.I. quer dizer que e não são múltiplos um do outro. Ou seja, não existe um escalar tal que ou vice-versa.

Passo 4

A condição de que e não são múltiplos de reforça que e não estão alinhados com . Isso é importante para garantir que, quando adicionamos ao conjunto, ele cria dependência linear.

Passo 5

Finalmente, ser L.D. significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Por exemplo, poderia ser escrito como , onde e são escalares.

Passo 6

Vamos construir um exemplo em . Escolha:

Passo 7

Vamos verificar as condições:
  1. é L.I. porque .
  2. é L.I. porque não é múltiplo de .
  3. e não são múltiplos de já que suas componentes não são escalares de .
  4. é L.D. porque .

Resposta

Um exemplo que satisfaz todas as condições é:

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Dê exemplo de:
Quatro vetores: e , sendo L.L., L.I., e não são combinação linear de e e L.D.
© * Existe alguma relação entre as matrizes de mudança de bases encontradas no item (b)? Qual?
Sejam operadores auto-adjuntos tais que para todo . Prove que .
Se B é invertível e é auto-adjunto, prove que é autoadjunto.