Dê exemplo de:
Três vetores:
e
, sendo
L.I.,
L.I.,
e
não são múltiplos de
e
L.D.
Três vetores:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos dar exemplos de três vetores
e
com as seguintes propriedades:
-
é linearmente independente (L.I.). -
é linearmente independente (L.I.). -
e não são múltiplos de . -
é linearmente dependente (L.D.).
Vamos precisar usar conceitos de independência e dependência linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Por exemplo,
ser L.I. simplesmente significa que
não é o vetor zero.
Passo 3
Agora,
ser L.I. quer dizer que
e
não são múltiplos um do outro. Ou seja, não existe um escalar
tal que
ou vice-versa.
Passo 4
A condição de que
e
não são múltiplos de
reforça que
e
não estão alinhados com
. Isso é importante para garantir que, quando adicionamos
ao conjunto, ele cria dependência linear.
Passo 5
Finalmente,
ser L.D. significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Por exemplo,
poderia ser escrito como
, onde
e
são escalares.
Passo 6
Vamos construir um exemplo em
. Escolha:
Passo 7
Vamos verificar as condições:
-
é L.I. porque . -
é L.I. porque não é múltiplo de . -
e não são múltiplos de já que suas componentes não são escalares de . -
é L.D. porque .
Resposta
Um exemplo que satisfaz todas as condições é: