Se A B A=k A, k escalar neq 0, mostre que 1k B é uma inversa generalizada de A.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que é uma inversa generalizada de , dado que onde é um escalar diferente de zero. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de inversas generalizadas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma inversa generalizada. Uma matriz é chamada de inversa generalizada de se ela satisfaz a condição . Nosso objetivo é mostrar que cumpre essa condição.

Passo 3

Vamos substituir A ( 1k B ) A = AGA por na condição :

Passo 4

Multiplicando A ( 1k B ) A = 1k (A B A) por :

Passo 5

Sabemos pelo enunciado que 1k (A B A) = 1k (k A) = A . Substituindo isso na equação:

Passo 6

Vimos que , o que confirma que satisfaz a condição para ser uma inversa generalizada de .

Resposta

Portanto, é uma inversa generalizada de .

Exercícios relacionados

Assuma que A e B sejam matrizes nxn com |A|=2 e |B|=-3. Ache os determinantes indicados.
(b) |A^2|
Calcule o determinante e a inversa da matriz
B=[llaI & bI cI & dI]
onde a, b, c e d são escalares e I é a matriz identidade de ordem m .
Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha infinitas soluções: (c)^* x+y+k z & =2 3 x+4 y+2 z & =k 2 x+3 y-z & =1
Considere o sistema r2 x1+3 x2-x3=1 x2+x3=2
a) Prove que [cc1 / 2 & -3 / 2 0 & 1 0 & 0] é uma inversa generalizada de [ccc2 & 3 & -1 0 & 1 & 1].
b) Através desta inversa generalizada, determine a solução geral do sistema.