Se A B A=k A, k escalar neq 0, mostre que 1k B é uma inversa generalizada de A.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que é uma inversa generalizada de , dado que onde é um escalar diferente de zero. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de inversas generalizadas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma inversa generalizada. Uma matriz é chamada de inversa generalizada de se ela satisfaz a condição . Nosso objetivo é mostrar que cumpre essa condição.

Passo 3

Vamos substituir A ( 1k B ) A = AGA por na condição :

Passo 4

Multiplicando A ( 1k B ) A = 1k (A B A) por :

Passo 5

Sabemos pelo enunciado que 1k (A B A) = 1k (k A) = A . Substituindo isso na equação:

Passo 6

Vimos que , o que confirma que satisfaz a condição para ser uma inversa generalizada de .

Resposta

Portanto, é uma inversa generalizada de .

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