Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha infinitas soluções:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e . A missão é encontrar os valores de que fazem esse sistema ter infinitas soluções. Pra isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e como determinar se eles têm solução única, nenhuma ou infinitas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação de operações para resolver. A matriz aumentada fica assim:
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde possamos identificar facilmente as incógnitas.
Primeiro, vamos eliminar o Linha2 = Linha2 - 3 times Linha1 das segunda e terceira linhas. Para a segunda linha, subtraímos 3 vezes a primeira linha:
Para o sistema ter infinitas soluções, precisamos que a última equação não apresente contradição e que exista pelo menos uma variável livre. Isso acontece quando o coeficiente de 3k + 1 = 0 implies k = -13 na última linha é zero e o lado direito também é zero.
Então, igualamos o coeficiente de 3 - k = 0 implies k = 3 a zero:
E verificamos o lado direito:
Para ter consistência, as duas condições devem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas não é o caso aqui. Portanto, precisamos revisar nossos cálculos.
Passo 6
Na verdade, para que a última linha não introduza uma equação nova e possibilite infinitas soluções, basta que ambas as equações sejam proporcionais. Portanto, igualamos os coeficientes e os termos constantes:
3k + 1 = 0 e 3 - k = 0
Resolvendo a primeira equação:
3k + 1 = 0 implies k = -13
Agora, substituindo 3 - (-13) = 103 neq 0 na segunda equação:
Isso indica que não existe valor de que satisfaça ambas as condições simultaneamente, ou seja, o sistema não tem infinitas soluções para nenhum valor real de .
Resposta
Não existe nenhum valor real de que faça o sistema ter infinitas soluções.