Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha infinitas soluções: (c)^* x+y+k z & =2 3 x+4 y+2 z & =k 2 x+3 y-z & =1

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e . A missão é encontrar os valores de que fazem esse sistema ter infinitas soluções. Pra isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e como determinar se eles têm solução única, nenhuma ou infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação de operações para resolver. A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & k & | & 2 3 & 4 & 2 & | & k 2 & 3 & -1 & | & 1

Passo 3

Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde possamos identificar facilmente as incógnitas.
Primeiro, vamos eliminar o Linha2 = Linha2 - 3 times Linha1 das segunda e terceira linhas. Para a segunda linha, subtraímos 3 vezes a primeira linha:
1 & 1 & k & | & 2 0 & 1 & -3k + 2 & | & k - 6 2 & 3 & -1 & | & 1
Linha3 = Linha3 - 2 times Linha1
Para a terceira linha, subtraímos 2 vezes a primeira linha:
1 & 1 & k & | & 2 0 & 1 & -3k + 2 & | & k - 6 0 & 1 & -2k -1 & | & -3

Passo 4

Agora, vamos eliminar o Linha3 = Linha3 - Linha2 da terceira linha. Subtraímos a segunda linha da terceira:
1 & 1 & k & | & 2 0 & 1 & -3k + 2 & | & k - 6 0 & 0 & 3k +1 & | & 3 - k

Passo 5

Para o sistema ter infinitas soluções, precisamos que a última equação não apresente contradição e que exista pelo menos uma variável livre. Isso acontece quando o coeficiente de 3k + 1 = 0 implies k = -13 na última linha é zero e o lado direito também é zero.
Então, igualamos o coeficiente de 3 - k = 0 implies k = 3 a zero:
E verificamos o lado direito:
Para ter consistência, as duas condições devem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas não é o caso aqui. Portanto, precisamos revisar nossos cálculos.

Passo 6

Na verdade, para que a última linha não introduza uma equação nova e possibilite infinitas soluções, basta que ambas as equações sejam proporcionais. Portanto, igualamos os coeficientes e os termos constantes:
3k + 1 = 0 e 3 - k = 0
Resolvendo a primeira equação:
3k + 1 = 0 implies k = -13
Agora, substituindo 3 - (-13) = 103 neq 0 na segunda equação:
Isso indica que não existe valor de que satisfaça ambas as condições simultaneamente, ou seja, o sistema não tem infinitas soluções para nenhum valor real de .

Resposta

Não existe nenhum valor real de que faça o sistema ter infinitas soluções.

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Se A B A=k A, k escalar neq 0, mostre que 1k B é uma inversa generalizada de A.
Assuma que A e B sejam matrizes nxn com |A|=2 e |B|=-3. Ache os determinantes indicados.
(b) |A^2|
Considere o sistema r2 x1+3 x2-x3=1 x2+x3=2
a) Prove que [cc1 / 2 & -3 / 2 0 & 1 0 & 0] é uma inversa generalizada de [ccc2 & 3 & -1 0 & 1 & 1].
b) Através desta inversa generalizada, determine a solução geral do sistema.
Classifique as seguintes matrizes em positiva definida ou positiva semi definida
a) [ccc4 & 1 & 2 1 & 4 & -1 2 & -1 & 4]
b) [ccc1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1]
c) [ccc2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2]