Considere o sistema r2 x1+3 x2-x3=1 x2+x3=2
a) Prove que [cc1 / 2 & -3 / 2 0 & 1 0 & 0] é uma inversa generalizada de [ccc2 & 3 & -1 0 & 1 & 1].
b) Através desta inversa generalizada, determine a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares e uma pergunta sobre inversas generalizadas de matrizes. A matéria que vamos usar é Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa generalizada e como ela pode ser usada para encontrar soluções de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma inversa generalizada. Em Álgebra Linear, nem toda matriz quadrada tem uma inversa. Mas existe um conceito chamado inversa generalizada (ou pseudoinversa) que pode ser aplicada a matrizes que não são necessariamente invertíveis no sentido tradicional.
A inversa generalizada, denotada geralmente por , tem algumas propriedades especiais que nos ajudam a resolver sistemas de equações que não têm solução única ou que são indeterminados.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o que o exercício pede na parte (a):
Queremos provar que a matriz
B = 12 & -32 0 & 1 0 & 0
é uma inversa generalizada da matriz
A = 2 & 3 & -1 0 & 1 & 1
Para provar isso, precisamos verificar se satisfaz as propriedades de uma inversa generalizada para . As propriedades que deve satisfazer são:
Onde denota a transposta da matriz.

Passo 4

Vamos calcular AB = A cdot B = 2 & 3 & -1 0 & 1 & 1 cdot 12 & -32 0 & 1 0 & 0 = (2 cdot 12 + 3 cdot 0 + (-1) cdot 0) & (2 cdot (-32) + 3 cdot 1 + (-1) cdot 0) (0 cdot 12 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0) & (0 cdot (-32) + 1 cdot 1 + 1 cdot 0) = 1 & -3 + 3 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1 :
Então, é a matriz identidade .

Passo 5

Agora, vamos calcular BA = B cdot A = 12 & -32 0 & 1 0 & 0 cdot 2 & 3 & -1 0 & 1 & 1 = 12 cdot 2 + (-32) cdot 0 & 12 cdot 3 + (-32) cdot 1 & 12 cdot (-1) + (-32) cdot 1 0 cdot 2 + 1 cdot 0 & 0 cdot 3 + 1 cdot 1 & 0 cdot (-1) + 1 cdot 1 0 cdot 2 + 0 cdot 0 & 0 cdot 3 + 0 cdot 1 & 0 cdot (-1) + 0 cdot 1 = 1 & 32 - 32 & -12 - 32 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 = 1 & 0 & -2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 :

Passo 6

Agora, vamos verificar as propriedades:
  1. Primeira propriedade ABA = A cdot (B cdot A) = A cdot BA = 2 & 3 & -1 0 & 1 & 1 cdot 1 & 0 & -2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 = 2 cdot 1 + 3 cdot 0 + (-1) cdot 0 & 2 cdot 0 + 3 cdot 1 + (-1) cdot 0 & 2 cdot (-2) + 3 cdot 1 + (-1) cdot 0 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 & 0 cdot 0 + 1 cdot 1 + 1 cdot 0 & 0 cdot (-2) + 1 cdot 1 + 1 cdot 0 = 2 & 3 & -4 + 3 0 & 1 & 1 = 2 & 3 & -1 0 & 1 & 1 = A :
Então, a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 7

  1. Segunda propriedade BAB = B cdot AB = B cdot I2 = B :
BA = 1 & 0 & -2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
Como (BA)^T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 1 & 0 é a matriz identidade e multiplicar qualquer matriz por ela retorna a própria matriz, temos que .
  1. Terceira propriedade :
Já vimos que . A transposta de é mesmo, então .
  1. Quarta propriedade :
Calculamos e vimos que:
A transposta de é:
Observamos que . No entanto, para a inversa generalizada de Moore-Penrose, todas as quatro propriedades devem ser satisfeitas. Parece que houve um erro aqui.
Na verdade, para a inversa generalizada, as propriedades são:
Como , isso indicaria que não é uma inversa generalizada no sentido de Moore-Penrose. Entretanto, o enunciado pede para provar que é uma inversa generalizada, possivelmente no sentido mais geral, onde apenas e são necessários.
Portanto, considerando que apenas essas duas propriedades são requeridas para uma inversa generalizada mais geral, podemos considerar que é uma inversa generalizada de .

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b):
Usando a inversa generalizada 2x1 + 3x2 - x3 = 1 x2 + x3 = 2 , queremos encontrar a solução geral do sistema:
A solução geral de um sistema que pode não ter solução única pode ser expressa como uma solução particular mais a combinação linear dos vetores do núcleo (soluções homogêneas).
A inversa generalizada nos ajuda a encontrar uma solução particular do sistema.

Passo 9

Vamos encontrar uma solução particular usando a inversa generalizada xp = B cdot 1 2 = 12 & -32 0 & 1 0 & 0 cdot 1 2 = 12 cdot 1 + (-32) cdot 2 0 cdot 1 + 1 cdot 2 0 cdot 1 + 0 cdot 2 = 12 - 3 2 0 = -52 2 0 :
Então, uma solução particular é .

Passo 10

Agora, precisamos encontrar a solução geral do sistema. Isso envolve adicionar a solução particular 2x1 + 3x2 - x3 = 0 x2 + x3 = 0 às soluções homogêneas do sistema 2x1 + 3x2 - (-x2) = 2x1 + 4x2 = 0 implies 2x1 = -4x2 implies x1 = -2x2 .
Primeiro, encontramos o núcleo de x2 = t x3 = -t x1 = -2t , ou seja, resolver xh = t -2 1 -1 , t in R :
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Então, expressando as variáveis em termos de um parâmetro :
Portanto, a solução geral do sistema homogêneo é:

Passo 11

Finalmente, combinando a solução particular x = xp + xh = -52 2 0 + t -2 1 -1 = -52 - 2t 2 + t -t , t in R com a solução homogênea , obtemos a solução geral do sistema original:

Resposta

A solução geral do sistema é dada por:
x1 = -52 - 2t x2 = 2 + t x3 = -t , onde t in R

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