Calcule o determinante e a inversa da matriz
B=[llaI & bI cI & dI]
onde a, b, c e d são escalares e I é a matriz identidade de ordem m .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. Temos uma matriz composta por blocos que são múltiplos da matriz identidade de ordem . Os escalares , , e estão multiplicando essas matrizes identidade. Nosso objetivo é calcular o determinante de e encontrar a sua matriz inversa. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes de matrizes blocos e técnicas de inversão de matrizes especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz B = aI & bI cI & dI . A matriz det(B) = det(aI) cdot det(dI - cI cdot (aI)^-1 cdot bI) é uma matriz bloco dI - cI cdot 1aI cdot bI = dI - b caI = (d - b ca)I da forma:
det(B) = a^m cdot (d - b ca)^m = (a d - b c)^m
Para calcular o determinante de uma matriz bloco , usamos a fórmula:
Sabemos que onde é um escalar e é a matriz identidade de ordem . Além disso, a inversa de é , desde que .
Calculando :
Agora, o determinante fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz B^-1 = A^-1 + A^-1BS^-1CA^-1 & -A^-1BS^-1 -S^-1CA^-1 & S^-1 . Para isso, usaremos a fórmula da inversa de uma matriz bloco B^-1 = 1aI + b ca d - b cI & -ba d - b cI -ca d - b cI & aa d - b cI :
onde .
Aplicando isso na nossa matriz :
  • , então
Substituindo na fórmula:

Resposta

O determinante da matriz B^-1 = (1a + b ca d - b c)I & -ba d - b cI -ca d - b cI & aa d - b cI é e a sua inversa é:

Exercícios relacionados

Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir: Existe um elemento de V, denotado por 0 , tal que u+0=u, forall u in V.
Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha uma única solução: (c)^* x+y+k z & =2 3 x+4 y+2 z & =k 2 x+3 y-z & =1
Assuma que A e B sejam matrizes nxn com |A|=2 e |B|=-3. Ache os determinantes indicados.
(b) |A^2|
Se A B A=k A, k escalar neq 0, mostre que 1k B é uma inversa generalizada de A.