Calcule o determinante e a inversa da matriz
onde
e d são escalares e I é a matriz identidade de ordem m .
onde
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. Temos uma matriz
composta por blocos que são múltiplos da matriz identidade
de ordem
. Os escalares
,
,
e
estão multiplicando essas matrizes identidade. Nosso objetivo é calcular o determinante de
e encontrar a sua matriz inversa. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes de matrizes blocos e técnicas de inversão de matrizes especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz
. A matriz
é uma matriz bloco
da forma:
Para calcular o determinante de uma matriz bloco
, usamos a fórmula:
Sabemos que
onde
é um escalar e
é a matriz identidade de ordem
. Além disso, a inversa de
é
, desde que
.
Calculando
:
Agora, o determinante fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inversa da matriz
. Para isso, usaremos a fórmula da inversa de uma matriz bloco
:
onde
.
Aplicando isso na nossa matriz
:
-
, então -
-
-
-
-
Substituindo na fórmula:
Resposta
O determinante da matriz
é
e a sua inversa é: