b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos analisar suas derivadas para encontrar pontos críticos e entender o comportamento da função. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a primeira derivada a zero e resolvemos para
:
Então, o único ponto crítico ocorre em
.
Passo 4
Para determinar a natureza desse ponto crítico (se é máximo, mínimo ou ponto de inflexão), vamos calcular a segunda derivada da função.
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico
:
Como a segunda derivada também é zero, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que precisamos analisar mais a função para entender o comportamento nesse ponto.
Passo 6
Vamos observar o comportamento da primeira derivada ao redor de
:
- Para
, - Para
,
A derivada é sempre positiva, o que indica que a função está sempre crescendo. Além disso, a segunda derivada muda de negativa para positiva passando por zero, sugerindo que
é um ponto de inflexão.
Resposta
A função
tem um ponto crítico em
, que é um ponto de inflexão, e a função está sempre crescendo.