b)
l b) y=x^3 & compre 20 Leftrightarrow y^prime(x)=3 x^2=0 Leftrightarrow x=0 y^prime prime(x)-6 x=0 Leftrightarrow x=0
l y(x)=6 x=0 Leftrightarrow x=0 y^prime prime(x)=6 x=0
l y=x^3 y(0)=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos analisar suas derivadas para encontrar pontos críticos e entender o comportamento da função. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de y'(x) = ddx(x^3) = 3x^2 em relação a . A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a primeira derivada a zero e resolvemos para 3x^2 = 0 x^2 = 0 x = 0 :
Então, o único ponto crítico ocorre em .

Passo 4

Para determinar a natureza desse ponto crítico (se é máximo, mínimo ou ponto de inflexão), vamos calcular a segunda derivada da função.
y''(x) = ddx(3x^2) = 6x

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico y''(0) = 6 times 0 = 0 :
Como a segunda derivada também é zero, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que precisamos analisar mais a função para entender o comportamento nesse ponto.

Passo 6

Vamos observar o comportamento da primeira derivada ao redor de :
  • Para ,
  • Para ,
A derivada é sempre positiva, o que indica que a função está sempre crescendo. Além disso, a segunda derivada muda de negativa para positiva passando por zero, sugerindo que é um ponto de inflexão.

Resposta

A função tem um ponto crítico em , que é um ponto de inflexão, e a função está sempre crescendo.

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