1. Drintâncie de (x, y) oti (e, 0) í puncâe j(x)=2 x^2+2 x+1 de dentro da raiz p / dier - pto de min:
l de min: f^prime(x)=1 x+2=0 Rightarrow x=-2 f^prime prime(x)=4 Rightarrow f^prime prime(-2)=4>0 therefore 2 íde min í
e y=2+^1=3 therefore(2,3) i pto mais prox d (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o ponto na curva da função que está mais próximo do ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto de mínimo distância.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a distância entre dois pontos d = raiz(x - a)^2 + (y - b)^2 e d = raizx^2 + j(x)^2 no plano é dada pela fórmula:
d^2 = x^2 + j(x)^2
No nosso caso, queremos a distância entre e , então a fórmula fica:
Mas para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância:

Passo 3

Agora, substituímos d^2 = x^2 + (2x^2 + 2x + 1)^2 na expressão:
Expandindo e simplificando essa expressão, obtemos uma função que precisamos minimizar em relação a .

Passo 4

Para encontrar o mínimo, vamos derivar ddx(d^2) = 0 em relação a ddx(x^2 + (2x^2 + 2x + 1)^2) = 2x + 2(2x^2 + 2x + 1)(4x + 2) = 0 e igualar a derivada a zero:
Calculando a derivada:

Passo 5

Resolvendo essa equação para 2x + 2(2x^2 + 2x + 1)(4x + 2) = 0 :
Isso resulta em uma equação polinomial que podemos resolver para encontrar o valor de que minimiza a distância.

Passo 6

Após resolver a equação acima, encontramos o valor de x = -12 que corresponde ao ponto de mínimo. Calculando, descobrimos que:

Passo 7

Agora, substituímos y = 2(-12)^2 + 2(-12) + 1 = 2(14) - 1 + 1 = 12 - 1 + 1 = 12 na função para encontrar o valor correspondente de :

Resposta

O ponto na curva que está mais próximo de é .

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