- Drintâncie de
oti
í puncâe
de dentro da raiz
dier - pto de min:
e
i pto mais prox d
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o ponto na curva da função
que está mais próximo do ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto de mínimo distância.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a distância entre dois pontos
e
no plano é dada pela fórmula:
No nosso caso, queremos a distância entre
e
, então a fórmula fica:
Mas para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância:
Passo 3
Agora, substituímos
na expressão:
Expandindo e simplificando essa expressão, obtemos uma função que precisamos minimizar em relação a
.
Passo 4
Para encontrar o mínimo, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Calculando a derivada:
Passo 5
Resolvendo essa equação para
:
Isso resulta em uma equação polinomial que podemos resolver para encontrar o valor de
que minimiza a distância.
Passo 6
Após resolver a equação acima, encontramos o valor de
que corresponde ao ponto de mínimo. Calculando, descobrimos que:
Passo 7
Agora, substituímos
na função
para encontrar o valor correspondente de
:
Resposta
O ponto na curva
que está mais próximo de
é
.
Exercícios relacionados
Determine um número positivo cuja diferença entre seu cubo e ele seja mínima.
de lista serto
de lista serto
b)
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{7} \theta \cos ^{5} \theta d \theta