Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{7} \theta \cos ^{5} \theta d \theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso tá relacionado com o conteúdo de integrais envolvendo potências de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de integração por substituição, onde simplificamos a expressão usando uma mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que tanto o seno quanto o cosseno estão elevados a potências ímpares. Quando isso acontece, uma boa estratégia é separar um fator de seno ou cosseno e usar uma substituição. Vamos separar um :

Passo 3

Sabemos que , então podemos reescrever:
Agora nossa integral fica:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
Quando , .
Quando , .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Vamos trocar os limites para que fiquem na ordem correta e eliminar o sinal negativo:

Passo 6

Agora, expandimos :
Então, nossa integral fica:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral se torna:

Passo 8

Avaliar os limites de integração:
Para :
Para , todos os termos são zero.

Passo 9

Agora, calculamos :
Primeiro, achamos um denominador comum, que é 120:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

b)
  1. Drintâncie de oti í puncâe de dentro da raiz dier - pto de min:
í
e i pto mais prox d
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0} \frac{\pi}{2} \cos ^{2} \theta d \theta
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \operatorname{tg}^{3} x \sec x d x