Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{7} \theta \cos ^{5} \theta d \theta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Isso tá relacionado com o conteúdo de integrais envolvendo potências de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de integração por substituição, onde simplificamos a expressão usando uma mudança de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que tanto o seno quanto o cosseno estão elevados a potências ímpares. Quando isso acontece, uma boa estratégia é separar um fator de seno ou cosseno e usar uma substituição. Vamos separar um
:
Passo 3
Sabemos que
, então podemos reescrever:
Agora nossa integral fica:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
Quando
,
.
Quando
,
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Vamos trocar os limites para que fiquem na ordem correta e eliminar o sinal negativo:
Passo 6
Agora, expandimos
:
Então, nossa integral fica:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Avaliar os limites de integração:
Para
:
Para
, todos os termos são zero.
Passo 9
Agora, calculamos
:
Primeiro, achamos um denominador comum, que é 120:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
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b)
- Drintâncie de
oti í puncâe de dentro da raiz dier - pto de min:
e
i pto mais prox d
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0} \frac{\pi}{2} \cos ^{2} \theta d \theta
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \operatorname{tg}^{3} x \sec x d x