Determine um número positivo cuja diferença entre seu cubo e ele seja mínima.
de lista serto
de lista serto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um número positivo onde a diferença entre o seu cubo e ele mesmo seja a menor possível. Ou seja, queremos encontrar um número
que minimize a expressão
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual função vamos trabalhar. Como queremos minimizar a diferença entre
e
, podemos definir a função que representa essa diferença:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz
ser o menor possível.
Passo 3
Para encontrar o mínimo de uma função, geralmente usamos o cálculo diferencial. Precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos e podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Resolvendo a equação
:
Como estamos procurando um número positivo, descartamos a solução negativa:
Passo 6
Para confirmar que esse ponto é um mínimo, podemos verificar a segunda derivada da função:
Substituindo
:
Como a segunda derivada é positiva, isso confirma que temos um ponto de mínimo.
Resposta
O número positivo cuja diferença entre seu cubo e ele próprio é mínima é
.
Exercícios relacionados
b)
(negra da eadiaia)
- Drintâncie de
oti í puncâe de dentro da raiz dier - pto de min:
e
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b)