Determine um número positivo cuja diferença entre seu cubo e ele seja mínima.
de lista serto pi / (5 l)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um número positivo onde a diferença entre o seu cubo e ele mesmo seja a menor possível. Ou seja, queremos encontrar um número que minimize a expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual função vamos trabalhar. Como queremos minimizar a diferença entre e , podemos definir a função que representa essa diferença:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz ser o menor possível.

Passo 3

Para encontrar o mínimo de uma função, geralmente usamos o cálculo diferencial. Precisamos derivar a função em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos e podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Resolvendo a equação :
Como estamos procurando um número positivo, descartamos a solução negativa:

Passo 6

Para confirmar que esse ponto é um mínimo, podemos verificar a segunda derivada da função:
Substituindo :
Como a segunda derivada é positiva, isso confirma que temos um ponto de mínimo.

Resposta

O número positivo cuja diferença entre seu cubo e ele próprio é mínima é .

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