b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o limite de uma soma que envolve a função tangente. Esse tipo de problema geralmente usa conceitos de cálculo, como limite, somatório e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma soma em uma integral usando algo chamado soma de Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão que precisamos calcular:
Vamos simplificar o argumento da tangente:
Então, a soma fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que essa soma se parece com uma soma de Riemann, que é usada para aproximar integrais. Na soma de Riemann, temos:
onde
é o tamanho de cada intervalo e
é o valor da função no ponto
.
Comparando com a nossa soma:
Quando
tende para o infinito, a soma de Riemann se transforma na integral da função
no intervalo considerado.
Passo 4
Vamos identificar os limites da integral. Como
e
tende para infinito, o intervalo total é:
Então, a integral que corresponde à nossa soma é de
até
:
Sabemos que a integral de
é:
Então, calculando os limites:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O limite da soma é igual a
.