b) lim n infty sumi=1^n pi4 n tan i pi4 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o limite de uma soma que envolve a função tangente. Esse tipo de problema geralmente usa conceitos de cálculo, como limite, somatório e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma soma em uma integral usando algo chamado soma de Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão que precisamos calcular:
limn infty sumi=1^n pi4n tan(i pi4 pi)
Vamos simplificar o argumento da tangente:
i pi4 pi = i4
Então, a soma fica:
sumi=1^n pi4n tan(i4)

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa soma se parece com uma soma de Riemann, que é usada para aproximar integrais. Na soma de Riemann, temos:
sumi=1^n f(xi) De
onde é o tamanho de cada intervalo e é o valor da função no ponto .
Comparando com a nossa soma:
Quando tende para o infinito, a soma de Riemann se transforma na integral da função no intervalo considerado.

Passo 4

Vamos identificar os limites da integral. Como n cdot De e integral0^pi4 tan(x) , dx tende para infinito, o intervalo total é:
integral tan(x) , dx = -ln|cos(x)| + C
Então, a integral que corresponde à nossa soma é de -ln|cos(pi4)| + ln|cos(0)| até -ln(raiz22) + ln(1) = -(ln(raiz2) - ln(2)) + 0 = -(12ln(2) - ln(2)) = 12ln(2) :
Sabemos que a integral de é:
Então, calculando os limites:
Sabemos que e , então:

Resposta

O limite da soma é igual a .

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