(b) g(x) = x^3 no intervalo [0,1].
Conclua que ambas a funções são integráveis e determine o valor de suas integrais.
Sugestão: Use a seguinte fórmula para a soma dos n primeiros naturais elevados ao cubo
1 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = [(n(n+1)/2)]^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função no intervalo . O que a questão pede é para mostrar que essa função é integrável nesse intervalo e também calcular o valor da integral dela. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de integral através de somas de Riemann e aplicar a fórmula que soma os cubos dos primeiros naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser integrável. Basicamente, uma função é integrável em um intervalo se conseguimos calcular a área sob a curva dela nesse intervalo. No nosso caso, queremos a área sob entre 0 e 1.

Passo 3

Para calcular essa área, usamos a definição de integral como o limite de uma soma de Riemann. Vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais, cada um com largura .

Passo 4

Em cada subintervalo, escolhemos um ponto para avaliar a função. Podemos escolher o ponto de direita, então para . A soma de Riemann fica:

Passo 5

Simplificando a soma:
Agora, usamos a fórmula sugerida para a soma dos cubos:

Passo 6

Substituindo na soma de Riemann:

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito para encontrar a integral:
Explicando: à medida que fica muito grande, , então:

Resposta

A função é integrável no intervalo e o valor da integral é .

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