(b)
no intervalo
.
Conclua que ambas a funções são integráveis e determine o valor de suas integrais.
Sugestão: Use a seguinte fórmula para a soma dos
primeiros naturais elevados ao cubo
Conclua que ambas a funções são integráveis e determine o valor de suas integrais.
Sugestão: Use a seguinte fórmula para a soma dos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
no intervalo
. O que a questão pede é para mostrar que essa função é integrável nesse intervalo e também calcular o valor da integral dela. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de integral através de somas de Riemann e aplicar a fórmula que soma os cubos dos primeiros naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser integrável. Basicamente, uma função é integrável em um intervalo se conseguimos calcular a área sob a curva dela nesse intervalo. No nosso caso, queremos a área sob
entre 0 e 1.
Passo 3
Para calcular essa área, usamos a definição de integral como o limite de uma soma de Riemann. Vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais, cada um com largura
.
Passo 4
Em cada subintervalo, escolhemos um ponto
para avaliar a função. Podemos escolher o ponto de direita, então
para
. A soma de Riemann fica:
Passo 5
Simplificando a soma:
Agora, usamos a fórmula sugerida para a soma dos cubos:
Passo 6
Substituindo na soma de Riemann:
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando
tende ao infinito para encontrar a integral:
Explicando: à medida que
fica muito grande,
, então:
Resposta
A função
é integrável no intervalo
e o valor da integral é
.