d) g(x)=integral1-2 x^1+2 x t sen t d t
Sugestão: Escreva, por exemplo,
integral2 x^3 x u^2-1u^2+1 d u=integral2 x^0 u^2-1u^2+1 d u+integral0^3 x u^2-1u^2+1 d u=-integral0^2 x u^2-1u^2+1 d u+integral0^3 x u^2-1u^2+1 d u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função . Isso envolve cálculo integral, especificamente a derivação de funções definidas por integrais com limites variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para derivadas de funções integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer: queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Quando temos uma integral cujos limites dependem de , usamos a Regra de Leibniz para derivar essa função.

Passo 3

A Regra de Leibniz diz que se temos g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , então a derivada é dada por:
Aqui, , e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas dos limites:
a'(x) = ddx(1 - 2x) = -2
b'(x) = ddx(1 + 2x) = 2

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de Leibniz:
g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando os sinais:

Resposta

A derivada de g'(x) = 2(1 + 2x) cdot sen(1 + 2x) + 2(1 - 2x) cdot sen(1 - 2x) é:

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