(b) lim x -infty x^2-6 x+83 x+1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da função x^2-6x+83x+1 quando x tende a menos infinito ( -infty). Para resolver isso, vamos precisar das técnicas de cálculo de limites de funções racionais quando x vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, observe os graus do polinômio no numerador e no denominador. O numerador é um polinômio de segundo grau ( x^2 é o termo de maior grau) e o denominador é de primeiro grau ( 3x é o termo de maior grau).

Passo 3

A regra geral para limites de funções racionais quando x tende a infinito ou menos infinito é:
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite será infinito ou menos infinito, dependendo dos coeficientes principais.
  • Se os graus forem iguais, o limite será a razão dos coeficientes principais.
  • Se o grau do numerador for menor, o limite será zero.

Passo 4

No nosso caso, o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1). Então, o limite tende a infinito ou menos infinito.

Passo 5

Para determinar se é infinito ou menos infinito, olhamos para os coeficientes principais. O coeficiente de x^2 no numerador é positivo (1) e o de x no denominador é positivo (3). Quando x tende a menos infinito, x^2 é sempre positivo, e 3x será negativo (porque x é negativo).

Passo 6

Então, a fração ficará com um numérico positivo dividido por um negativo, resultando em valores negativos. Além disso, como o grau do numerador é maior, o valor absoluto da fração tende ao infinito.

Resposta

Portanto, lim x -infty x^2-6x+83x+1 = -infty.

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