(j) lim n +infty(n+7n+4)^n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso envolve conceitos de limites e funções exponenciais, e vamos precisar usar propriedades de limites para resolver.

Passo 2

Vamos simplificar a fração dentro do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm n+7n+4 = n(1 + 7n)n(1 + 4n) = 1 + 7n1 + 4n , então podemos dividir cada termo por :

Passo 3

Quando 1 + 01 + 0 = 1 tende ao infinito, os termos e tendem a zero. Assim, a expressão se aproxima de:
Mas precisamos considerar o comportamento da expressão elevada a , então vamos reescrever a fração de uma forma mais útil para o limite.

Passo 4

Reescrevemos a expressão 1 + 3n + 4 como:
Isso simplifica para aproximadamente quando é grande.

Passo 5

Agora, temos o limite de limn to infty (1 + kn)^n = e^k quando tende ao infinito. Sabemos que:
onde é a base dos logaritmos naturais e aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 6

Aplicando essa propriedade com limn to infty (1 + 3n)^n = e^3 , temos:

Resposta

O limite é .

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